量子力学课件第三章(2)

?是厄密算符吗？求出它的本征函数和本征值。Q?的谱是什么？这个谱是简并吗？ 3.26式。Q

3.3厄密算符的本征函数

我们的注意力从而指向厄密算符的本征函数（物理上：可观测量的定值态）。分成两类情况：如果谱是分立的（即，本征值是分开的）则本征函数处于希耳伯特空间中并且构成物理上可实现的态。如果谱是连续的（即，本征值充满一个范围）那么本征函数是不可归一化的，并且它们不能代表可能的波函数（尽管它们的线性迭加 — 这必定包括本征值的一个分布 — 可能是可归一化的）。某些算符仅有分立谱（例如，谐振子的哈密顿），某些仅有连续谱（例如，自由粒子的哈密顿），还有一些既具有分立谱也有连续谱（例如，有限深方势阱的哈密顿）。分立谱情况较易处理，因为相关的内积一定存在 — 实际上，这和有限维理论相似（厄密矩阵的本征矢量）。我们将首先处理分立谱，然后再考虑连续谱。

3.3.1分立谱

数学上，厄密算符可归一化的本征函数具有两个重要性质：

定理1：它们的本征值是实数。 证明：假设

??qf, Qf?的本征函数是f(x)，本征值为q）,并且10 （即，Q

??Qf?f fQf?是厄密算符）（Q。那么有

? qff?qff

（q是一个数，所以它可以移出积分号外，并且因为内积的左侧是右侧函 数的复共轭（等式3.6）所以在右边q也同样移出）。但是ff不能是0 （f?x??0不是正当的本征函数），所以q?q?，因此q是实数。证毕。

这个结果十分惬意：如果你对粒子的一个定值态测量一个可观测量，你至少会得到一个实数。

定理2：属于不同本征值的本征函数是正交的。 证明：假设

??qf， Q?g?q?g Qf

??Qf?g，所以 ?是厄密算符。则有fQgQ? q?fg?qfg

（再次，内积是存在的因为假定本征函数是位于希耳伯特空间内）。但是q是 实数（由定理1），所以如果q??q那么必然有fg?0。证毕。

这就是为什么无限深方势阱的定态，或者谐振子的定态，都是正交的 — 它们是哈密顿具有不同本征值的本征函数。但是这个性质不独是它们所有，或者仅仅是哈密顿所特有 — 任何可观测值的定值态都有这一性质。

不幸的是，定理2没有告诉我们任何关于简并态（q??q）的问题。不过，如果两个（或 10

在这里我们假定本征函数是在希尔伯特空间内?否则，内积可能根本就不存在。

者更多）本征函数具有相同的本征值，任何它们线性的组合依然是具有同样本征值的本征函数（习题3.7（a）），而且，在每一个简并的子空间，我们可以利用Gram-Schmidt正交化步骤（习题A.4）构建相互正交的本征函数。(感谢上帝)几乎从不需要直接解这个问题，尽管在原则上我们总是可以做到的。所以，即使存在简并，本征函数依然可以选择彼此正交，并且在建立量子力学的体系时我们将假定已是如此。这就允许我们依据基函数的正交归一性使用傅立叶技巧。

在一个有限维的矢量空间，厄密矩阵的本征矢量具有第三个基本性质：它们张成空间（任何一个矢量都可以用它们的线性迭加来表示）。不幸的是，其证明不能推广到无限维的空间。但是这个性质本身对量子力学自洽性是必须的，所以（遵从狄拉克11）我们把它作为一个公理（或者，更确切的说，看作是加在表示可观测量的厄密算符上的一个限制条件）：

公理：可观测量算符的本征函数是完备的：（在希尔伯特空间中的）任何函数都

12

可以用它们的线性迭加来表达。 习题3.7

?算符的两个具有相同的本征值q的本征函数。证明任何f和g （a） 假设f(x)和g(x)是Q?具有相同本征值q的本征函数。 的线性迭加也都是Q（b） 验证f?x??exp?x?与g?x??exp??x?是算符d2dx2具有相同的本征值的两个本征 函数。构造两个的f和g的线性的组合，使它们在（-1，1）范围内是正交的。

习题3.8

（a） 验证例题3.1中厄密算符的本征值是实数。证明（具有不同本征值的）本征函数是正交

的。

（b） 对习题3.6中的算符做同样的验证。

3.3.2连续谱

如果一个厄密算符的谱是连续的，由于内积可能不存在，其本征函数是不可归一化的，定理 1和2的证明就不成立。然而，在某种意义上三个基本的性质（实数性、正交性、完备性）依然成立。我想最好能通过特殊的例子来探讨这种微妙的情况。 例3.2求动量算符的本征值与本征函数。 解：设fp(x)是本征函数，p是本征值： 一般解是

fp(x)?Aeipx/h?dfp(x)?pfpx(). [3.30] idx.

对于任何（复数的）p值，它都不是平方可积的 — 动量算符在希耳伯特空间内没有本征函数。然而，如果我们限定于实数本征值，我们的确可以得到一个人为的 “正交归一性”。参看习题2.24（a）和2.26，

????f(x)fp(x)dx?A?p?2????ei(p?p?)x/?dx?A2???(p?p?). [3.31]

2如果我们取A?1/2??， 有 11

P.A.M.Dirac, 量子力学原理，Oxford University Press， New York（1958）。

在一些特殊的情况下完备性是可以证明的（例如，我们知道由于Dirichlet定理，无限深方势阱的定态是完备的）。把一个在有些情况下可以证明的东西叫做“公理”似乎有些不恰当，但是我不知道怎么来更好的处理它。

12

fp(x)?那么

12??eipx/?, [3.32]

fp?fp??(p?p?)， [3.33]

明显使人联想到真正的正交归一性（等式3.10—现在的指标是一个连续的变量，并且Kronecker?符号变为Driac?符号，但是其它方面看起来是相同的。我将把等式3.33称为 Driac正交归一性。

最重要的，其本征函数是完备的，不过是用一个积分代替了（等式3.11中的）求和：任何（平方可积的）函数f(x)都可以写成下列形式 f(x)?????c(p)fp(x)dp?2????1???c(p)eipx/?dp. [3.34]

仍然可以利用傅立叶技巧得到展开系数（现在是一个函数，c(p)）：

fp?f??c(p)fp?fpdp??c(p)?(p?p?)dp?c(p?). [3.35]

?????另外，你也可以由Plancherel定理（2.102式）得到，这种展开（3.34式）不是别的，正是傅立叶变换。 动量的这个本征函数（3.32式）是正弦曲线，它的波长是

??2??. [3.36] p这正是前面的德布罗意公式（1.39式），我曾承诺在适当的时候给出证明。这看起来要比德布罗意想象的稍微有一点难解，因为我们现在知道一个粒子具有确定动量实际上并不存在。不过我们可以做一个归一化的波包，其动量分布在一个狭窄的范围，对这样的波包可以运用德布罗意关系。

?没有本征函数存在于在希耳伯特空间内，但是其中的一我们拿例题3.2做什么呢？尽管p部分（具有实数本征值的部分）位于希耳伯特空间的“郊区” 附近，并且具有准-归一化的性质。它们确实不表示可能的物理态，但是它们仍然是很有用的（像在我们以前研究的一维散射问题中）。13

例题3.3 求坐标算符的本征函数与本征值。 解：设本征函数为gy(x)，本征值为y：

xgy(x)?ygy(x). [3.37] 这里（对应于任何一个给定的本征函数）y是一个定值，但是x是一个连续的变量。什么样的x函数具有如下的性质：用常数y乘以函数与用x乘以函数的结果相同？明显地，除在x?y点之外，只能是0；实际上不是别的，就是狄拉克?函数： gy(x)?A?(x?y).

这次本征值必须是实数；本征函数不是平方可积的，但是它们也具有狄拉克正交归一性： 13

本征函数的本征值不是实数会怎样？这不仅仅是不可归一化的问题——它们实际上在??趋于无

限大。我所说的希耳伯特空间“郊区”的函数（有时，整个中心城区称为 “装备希耳伯特空间”；可参见，例如，Leslie Ballentine所著的，量子力学：一个划时代的发展, World Scientific, 1998）具有如下的性质：尽管它们没有与自身的（有限的）内积，但它们与希耳伯特空间中所有成员的内积是存在的。但这对

?的p具有非实数本征值的本征函数不成立。特别地，我证明对希耳伯特空间中的函数而言，动量算符是厄密算

?具有实数本征值的的本征函数，边界项符，但是，证明是基于（在式3.19中）去掉了边界项。如果g是p仍然为零（只要f是在希耳伯特空间），但是，如果本征值具有虚数部分，就非如此。在这个意义上，任

?的本征值，但是只有实数才是厄密算符p?的本征值—其余的不处在厄密算符p?的空间。何复数都是算符p

????g?y?(x)gy(x)dx?A2?????(x?y?)?(x?y)dx?A?(y?y?). [3.38]

2如果我们取A?1，就有

gy(x)??(x , [3.39] ?y)这样

gy?gy??(y?y?). [3.40] 这些本征函数也是完备的： f(x)?????c(y)gy(x)dy??c(y)?(x?y)dy, [3.41]

???有

c(y)?f(y ) [3.42] （对本题，如果你坚持你也可以从傅立叶技巧得到它）。 如果厄密算符的谱是连续的（所以上面例子中的本征值由一个连续变量标记—p或者是y；下文中一般用z），本征函数是不可归一化的，它们不在希耳伯特空间内并且不能代表可能的物理态；然而，具有实数本征值的本征函数具有狄拉克正交归一性，并且是完备的（求和现在是积分）。幸运的是，这正是我们所需要的。

习题3.9

(a)从第二章中列举一个仅具有分立谱线的哈密顿（谐振子除外）。 (b)从第二章中列举一个仅具有连续谱的哈密顿（自由粒子除外）。

(c)从第二章中列举一个既具有分立谱又具有连续谱的哈密顿（有限深方势阱除外）。 习题3.10 无限深方势阱的基态是动量的本征函数吗？如果是，它的动量是什么？如果不是，为什么不是？

3.4 广义统计诠释

第一章我们介绍了怎样去求一个粒子在某一特定位置出现的几率，以及如何确定任意一个可观测量的期望值。在第二章中，我们学习了如何求出能量测量的可能结果及其出现的几率。那么，现在，我们能够来阐述广义统计诠释，这一概念包含了上述内容，而且可使我们计算出任何测量的可能结果以及出现这些结果的几率。这和（告诉我们波函数如何随时间演化的）薛定谔方程一起构成了量子力学的基础。

广义统计诠释：如果测量一个处于?(x,t)态的粒子的可观测量Q(x,p)，那么，其结

?(x,?id?/dx)的一个本征值。如果Q?的谱是分立的，得到与正交归一果一定是厄密算符Q本征函数fn(x)相应的本征值qn的几率是

cn, 其中 cn?fn?. [3.43]

2?的谱是连续的，具有实数本征值q(z)及狄拉克-正交归一的本征函数f(x)，则得到如果Qz结果在范围dz的几率是

c(z)dz 其中 c(z)?2zf? . [3.44]

测量之后，波函数“坍塌”于相应的本征态。14

统计诠释与我们在经典物理学中学到的东西完全不同。从不同的侧面可以帮助我们更好地理解：一个可观测量的本征函数是完备的，所以波函数可以写作它们的线性迭加： 14

在连续谱的情况下，取决于测量设备的精密程度，坍塌是朝向测量到的值的一个狭窄的范围。

?(x,t)??cnnnf(x). [3.45]

（简单起见，假设谱是分立的；很容易推广到连续谱的情况。）由于本征函数是正交归一的，

15

展开系数可由傅立叶技巧得出： cn?fn???fn(x)??(x,t)dx. [3.46]

?的一个本征值，定性上来说，cn告诉我们“?中包含有多少fn”，并且一次测量一定给出算符Q它看起来是合理的，得到某一特定本征值qn的几率应该取决于?中“包含fn的量”。但是，因为几率是由波函数的模平方决定的，其精确度量实际上是cn。这才是广义统计诠释的精髓所在。16

当然，总的几率（对所有可能结果的几率求和）必须是1：

2

?cn?1, [3.47]

n2这也可以从波函数归一化得出：

?????1??????cn?fn????cnfn????cn?cnfn?fn

n?n?n???n??????cn?cn?n?n??cncn??cn. [3.48] n?nnn2类似地，Q的期望值应该是任何可能性的本征值与本征值出现几率的乘积的求和： Q?的确

?qncn. [3.49]

n2???? Q??Q?????cfQcf??n?n???nn?, [3.50] ?n???n?2??qf，所以 但是Qfnnn Q???cn??cnqnfn?fn???cn??cnqn?n?n??qncn. [3.51]

n?nn?nn不管怎样，到此为止，所有的结果是一致的。

那么，我们能不能用现在的语言对原先的位置测量的统计诠释重新论述呢？当然可以— 这有点絮叨，但值得检验。测量一个处于?态的粒子的x其结果一定是坐标算符的一个本征值。在例题3.3中，我们发现每个实数y都是x的一个本征值，相应的本征函数是

gy(x)??(x?y)。

显然有

c(y)?gy???????(x?y)?(x,t)dx??(y,t), [3.52]

2所以，获得结果处于某一范围dy的几率就是?(y,t)dy，这也正是原先的统计诠释。 1516

注意时间依赖性—此处没有讨论这个问题—体现在展开系数中；如果明显写出应为cn(t)。 再次，我小心地避开常见的论述“cn

2

是粒子处于fn态的概率。”这毫无意义。粒子是处于态?。而cn

2

2

是测量Q的值得到q的概率。这种测量会使态坍塌向本征函数fn。所以正确说法是 “cn的粒子在测量Q值后将处于fn态的几率”…但是这是完全不同的论述。

是处于?态

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