量子力学课件第三章

第三章

形式理论

3.1希耳伯特（Hilbert）空间

在上两章中，我们已经看到了简单量子体系的一些有趣的特性。其中有些是特定势能的“偶然”特点（例如：谐振子能级间隔的均匀分布），但是另外一些是普遍的，给它们一个彻底的一劳永逸的证明是十分必要的（例如：不确定原理和定态正交性）。本章的目的是在一个更有力的形式上重新讨论我们的理论。从重新讨论的角度来讲，本章没有很多完全是新的内容，其基本思想是对我们已在特定情况中的发现做更清晰的了解。

波函数和算符是量子理论的两块基石。体系的状态用波函数表示，可观察量用算符表示。数学上讲，波函数满足抽象矢量的定义条件，算符作为线性变换作用于矢量之上。因此，量子力学的自然语言是线性代数。1

但是我估计它并非是一个你可以很快熟悉的形式。在N维空间中，可以简单地用对应于N个正交归一基矢的分量，?an?，的一个N行列矩阵表示一个矢量

?，即：

?a1???a??a??2?. [3.1]

??????aN?两个矢量的内积（三维空间标量积的推广）

??是一个复数，

???a1*b1?a2*b2??aN*bN. [3.2]

线性变换T用矩阵（相应指定的基矢）表示，通过普通的矩阵乘法规则作用于矢量上（得到新的矢量）：

?t11t12?t1N??a1?????tt?ta2?21222N?????T??b?Ta?. [3.3] ????????????tt?tNN??aN??N1N2但是在量子力学中我们遇到的“矢量”是函数（绝大多数情况下），它们存在于无穷维

空间中，对于它们，用N行列矩阵/矩阵的方法有点笨拙，以及在有限维下有很好行为的矩阵乘法可能存在问题。（其理由是，尽管3.2式的有限求和总是存在的，而对于无限求和或积分可能不收敛，在这种情况下内积将不存在，那么涉及到内积的任何论述都有疑问。）因此，即使对大多数的术语和符号比较熟悉，仍要十分谨慎。

所有x的函数的集合构成了一个矢量空间，但对于我们的目的来说它太大了。为了表示可能的物理状态，波函数?必须是归一化：

所有在特定区域2的平方可积函数的集合，

??dx?1

2f(x) 满足

?baf(x)dx?? [3.4]

2构成一个（非常小）的矢量空间（参看习题3.1（a））。数学家称之为L2(a,b)；而物理学家

1

如果你还没有学习过线性代数，你应该在继续阅读之前参看一下附录。 2

对于我们来讲，积分限（a和b）通常总是（??），但是目前来说，我们保持讨论最一般的情况。

称它为“希尔伯特空间”。3 因此，在量子力学中， 波函数是处于希耳伯特空间中.

我们定义两个函数f(x)和g(x)的内积如下：

[3.5]

fg??baf(x)*g(x)dx. [3.6]

如果f和g都是平方可积（也就是说，如果两者都在希耳伯特空间中），它们的内积将肯定存在（3.6式中的积分收敛于一个有限值）。4这可从Schwarz不等式得出：5

?baf(x)g(x)dx?*?baf(x)dx?g(x)dx. [3.7]

a*2b2你自己可以验证一下3.6式满足内积所有条件（习题3.4（b））。注意到特别有

gf?fg. [3.8]

此外，f(x)与自己的内积：

ff??f(x)dx, [3.9]

ab2它是一个非负实数，仅当f(x)?0时为零。6

如果一个函数与自身的内积为1，我们称之为归一化的；如果两个函数的内积为0，那么这两个函数是正交的；如果一组函数即是归一的也是相互正交的，称之它们为正交归一的。

fmfn??mn. [3.10]

最后，如果存在一组函数，其它任意函数（希尔伯特空间中）都可以表示为这组函数的线性迭加，那么这组函数是完备的:

f(x)??cnfn(x). [3.11]

n?1?如果函数?fn(x)?是正交归一的，上式中的常数可以由傅立叶技巧得到：

cn?fnf, [3.12]

你可以自己验证一下。当然，在第二章中我已提起过这种方法（一维无限深方势阱（2.28式）的定态在(0,a)区间构成了一个完备正交归一系；谐振子（2.67或2.85式）的定态在

(??,?)区间构成了一个完备正交归一系）。

3

技术上讲，一个希尔伯特空间是一个完备的内积空间，平方可积函数的集合只是希尔伯特空间的一个例子?的确，每一个有限维矢量空间明显是一个希尔伯特空间。但是既然L2是量子力学的表演舞台，这就是物理学家讲“希尔伯特”空间时的一般意义。顺便说一下，“完备”一词在这里的意思是希尔伯特空间中任何函数的柯西序列中收敛于一个同样在希尔伯特空间中的函数；这个空间没有“孔洞”，就像所有的实数的集合没有孔洞一样。（与此相比，例如，所有多项式的空间，像所有有理数的集合一样，的确有孔洞）。空间的完备性同一组函数的完备性（不幸的是用了同一词）没有任何关系。这组函数的完备性是指任何函数都可以表示为这组函数的线性组合。 4

在第二章中，在一些场合，我们被迫使用不可归一化的函数。这些函数处在希尔伯特空间之外。你将看到，我们将特别小心地地对待它们。目前，我将假设，我们遇到的所有函数都是在希耳伯特空间中的。 5

其证明，可参阅F.Riesz和B.Sz.-Nagy所著，函数分析（Unger,New York,1995），21节。对一个有限维矢量空间，Schwarz不等式??2?????很容易证明（见习题A.5）。但证明过程假设了内积的存

在，而这严格来说正是我们现在试图建立的。 6

除了几个孤立的点, 一个函数处处是零，那会是怎样？它的积分(3.9式)仍然是零，尽管函数本身不为零。如果这使你困惑，你一定是主修数学的。在物理学中并不会出现这种变态函数，但是在任何情况下，希耳伯特空间中具有相同平方可积的两个函数被称为是等价的。技术上讲，希耳伯特空间中的矢量代表函数的等价类。

习题3.1：

（a） 证明，全体平方可积函数构成一个矢量空间（参考A.1节中的定义）。提示：要点是

证明两个平方可积函数之和也是平方可积的，利用3.7式。全体可归一化的函数构成一个矢量空间吗？

（b） 证明3.6式中的积分满足内积条件（A.2节）。

习题3.2：

（a） v范围取什么值时函数f(x)?xv（0?x?1）是处于希尔伯特空间中的？假设v是

实数，但不必是正的。 （b） 对于特定情况v?1/2，f(x)在希尔伯特空间吗？xf(x)呢？?d/dx?f(x)呢？

3.2可观测量

3.2.1厄密算符

一个可观测量Q(x,p)的期望值可以用内积符号简洁表示出来：7

??dx??Q??. [3.13] Q???*Q一次测量的结果应该是实数，这样一来，多次测量值的平均值也应如此：

Q?Q. [3.14]

但内积的复共轭颠倒了顺序（3.8式），因此

*???Q???, [3.15] ?Q任意波函数?都满足此式。因此表示可观测量的算符有非常特殊的性质

??Qf?f 对任何f(x)成立. [3.16] fQf我们称这样的算符为厄密（hermitian）算符。

事实上，许多书籍中要求一个表面上看来更强的条件：

??Qf?g 对任意f(x)和g(x)成立. [3.17] fQg但是忽略表面上的差异，可以证实它与我的定义(3.16式)是完全等价的，具体的你可以在习

题3.3中证明。因此，两种形式随你用。本质的一点是厄密算符即可以作用于内积的右侧项也可以作用于左侧项，结果都一样，由于厄米算符的期望值是实数，它们很自然出现在量子力学中：

[3.18] 可观测量由厄密算符表示.

让我们来验证一下。例如，动量算符是厄密算符吗？

7?是算符，它是由在Q中通过替代P?P??(h/i)d/dx构造的。这些算符是线性的，即对任意函记住Q数f和g及任意复数a和b，有

??af(x)?bg(x)??aQf?(x)?bQg?(x). Q它们构成了空间中全部函数的线性变换（A.3节）。可是，它们有时也会把希尔伯特空间内的函数变换到空

间之外（见习题3.2（b）），在此种情况下算符的域也许要受到限制。

??hdf?*hdgh*?????g [3.19] fpgfdx?fg??gdx?pf????idx?????idx?i当然，我利用了分部积分，并由下列理由去掉了边界项：如果f(x)和g(x)是平方可积的，它们在??必定趋于零。8注意到在分部积分时i的复共轭伴随着一个负号的产生 ? 算符ddx（没有i）不是厄密的，它不能表示可能的可观测量。

?*

??Qh?h，那么，对*习题3.3 证明如果对于所有（希耳伯特空间中）的函数h都有 hQh??Qf?g（即，两种对于厄密算符的定义 — 等式3.16和3.17于所有的f和g就有fQg— 是等价的）。提示：首先设h?f?g，然后令h?f?ig。

习题3.4

（a） 证明两个厄密算符之和仍为厄密算符。

?是厄密的，?是一个复数。在什么条件下（?的）?Q?也是厄密的？ （b） 假设Q（c） 在什么条件下两个厄密算符的积也是厄密的？

??x）和哈密顿算符（H???(?2/2m)d2/dx2?V(x)）是厄密算符。（d） 证明坐标算符（x

?的厄密共轭算符（伴随算符）是算符Q??，有 习题3.5 算符Q??Q??fg （对所有的f和g）. [3.20] fQg??Q??。（所以一个厄密算符与它的厄密共轭算符相等：Q）

（a）给出x，i，和d/dx的厄密共轭算符。

（b）构建谐振子的升阶算符a?（等式2.47）的厄密共轭算符。

??（c）证明QR?????。 ??Q?R 3.2.2定值态（Determinate States）

通常的，当你对全同体系组成的系综测量一个可观测量Q，每个体系都处于相同的状态?，每次测量并不能得到相同的结果 — 这就是量子力学中的不确定性。9问题：是否能够制备一个态使得每一次观测Q都一定得到同样的值（记作q）？如果你喜欢，可以称这样的态为可观测量Q的定值态。（实际上，我们已经知道一个例子：哈密顿的定态是定值态；测量一个粒子处于定态

） ?n时的总能量，必定得到相应的“允许的”能量En。

Q的标准差，在定值态下应该是0，即：

2??Q)2??(? ??(Q [3.21] Q?q)2???(Q?q)??(Q?q)? ?0.??q是?以及Q（当然，如果每次测量都给出q，它们的平均值也就是q:Q?q。我利用了Q??q作用在左侧项上。厄密算符的事实，把内积中的一个Q）但是其内积为零的唯一函数是0，

8

事实上，这并非完全正确。正如第一章中提到的，存在平方可积的病态函数，但在无限远处并不为0。然

而物理学中并不存在这样的函数。如果你担心这个，我们可以简单限制算符的域，把它们排除在外。在有限区间中，你要特别小心边界项，算符在??,?是厄密算符。但在0,?或??,??上并非一定是厄米算符。如果你怀疑一维无限深方势阱，最可靠的是认为这些波函数是定义在整个一维空间—它们只不过是恰巧在（0，a）之外等于0。

9

??????我所讨论的是理想状态的测量?实际测量当然总有可能出现失误，导致错误的结果，这与量子力学无关。

所以

???q?. [3.22] Q?的本征值方程；?是Q?的一个本征函数，q是相对应的本征值。因此 这称为算符Q

[3.23] ?的本征函数. 定值态是Q

在这种态上测量Q一定能够得到本征值q。

注意到本征值是一个数（既不是算符也不是函数）。任意本征函数乘以一个常数，仍然是一个具有相同本征值的本征函数。零不算作是本征函数（我们由定义排除它 — 否则任何一个

?和q都有Q?0?q0?0）数都成为它的本征值，因为对所有的算符Q。但是，零作为本征值却没

有任何不妥之处。一个算符所有本征值的集合称为这个算符的谱。有时候两个（或者更多）线性独立的本征函数具有相同的本征值；这种情况下称作谱的简并。

例如，总能量的定值态是哈密顿算符的本征函数： ???E?， [3.24] H这正是定态薛定谔方程。在这个意义上我们用字母E表示本征值，小写字母?表示本征函数（如

果你喜欢，你可以添加因子exp??iEt??得到?；这仍然是H的本征函数）。

例题3.1 考虑算符

Q?id, [3.25] d?其中?是通常的二维极坐标。（如果我们研究园环上的珠子，见问题2.46，可能会遇到这个算符。）

?是厄密算符吗？求出它的本征函数和本征值。 Q解：这里我们在有限的区域0???2?内研究函数f???，并且约定

f(??2?)?f(?), [3.26] 因为?和??2?描述的是同一个物理点。用分部积分，

??fQg?2?0?dg?f?i?d??if?g?d???2?0??2?0?df???i??gd??Qfg, ?d???是厄密算符（这次边界项由于等式3.26的作用而消失）所以Q。 本征方程，

i具有一般解

f(?)?Ae等式3.26限定了q的可能值

?iq?df(?)?qf(?), [3.27] d??iq?. [3.28]

?1 ? q?0,?1,?2, .. e [3.29]

这个算符的谱是一系列所有的整数值，并且是非简并的。 ??d2d?2，其中?是极坐标中的方位角（同例题3.1）习题3.6考虑算符Q，并且函数同样遵从

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