量子力学课件第三章(3)

动量又如何呢？在例题3.2中我们发现动量算符的本征函数是

fp(x)?(1/2??)?exp(ipx/?)，所以

??? c(p)?fp??2???1???e?ipx/??(x,t)dx. [3.53]

这是非常重要的一个量，我们赋给它一个特殊的名字和记号：动量空间波函数，?(p,t)。它其实就是坐标空间波函数?(x,t)的傅立叶变换 ? 根据Plancherel定理，后者又是它的逆变换：

?(p,t)? ?(x,t)?2?????根据广义统计诠释，对动量的测量得到结果在dp范围的几率是

22??????11?e?ipx/??(x,t)dx; [3.54] e?ipx/??(p,t)dp. [3.55]

?(p,t)dp. [3.56] 例题3.4 一个质量为m的粒子处在?函数势V(x)????(x)中。对其动量进行测量，得到结果比p0?m?/?大的几率是多少？ 解：（坐标空间的）波函数是（2.129式） ?(x,t)?m??m?x/?2?iEt/? ee?22（式中 E??m?/2?）。因此动量空间的波函数是

3/2?iEt/?m??iEt/???ipx/??m?x/?22p0e ?(p,t)? eeedx?22?????p?p2??01（查阅积分表求积分）。所以，要求的几率就是

2?p?30p0?11dp?22(p2?p0)??pp0??1?p??tan????22p?p0?p0????p0?11??0.0908 42?（再次查阅积分表求积分） 习题3.11 对谐振子基态，求出其动量空间的波函数，?(p,t)。对此态测量动量，发现结果处于经典范围（具有相同能量）之外的几率是多大（精确到两位数）？提示：数值计算部分可查阅数学手册中“正态分布”或“误差函数”部分，或者使用Mathematic软件。 习题3.12 证明

?????dp. [3.57] ??i?p??提示：注意到xexp(ipx/?)??i?(d/dp)exp(ipx/?)。

则，在动量空间，坐标算符则可表示为i??/?p。更普遍的有

x?????????????Qx,???dx,???i?x??Q(x,p)?????Q?????,p??dp，????i?p??? 在坐标空间; [3.58]

在动量空间.原则上，可以像在坐标空间一样在动量空间进行所有的计算（当然并不总是很简便）。

3.5不确定原理

在1.6节部分我们曾讲述过不确定原理（以?x?p??/2的形式），而且在习题你们曾多次验证过它。但是我们从来没有证明过它。这一节我们来证明不确定原理更一般的形式，并探讨它的的蕴涵。论证很优美，而且相当简洁，请细心体会。

3.5.1普遍不确定原理的证明

对于任意一个可观测量A，我们有（3.21式）：

2?A???A???A??A???A?ff,

??A?。同样地，对于任何另外一个可观测量B，有 式中f?A2??B?. ?B?gg, 其中 g?B????因此（由Schwarz不等式，3.7式）有，

22?A?B?ff那么现在对于任意一个复数z，

gg?fg222. [3.59]

2?1? z??Re(z)???Im(z)???Im(z)???(z?z?)?. [3.60]

?2i?因此，令z?fg，

22?1? ?????fg?gf?? [3.61]

???2i?2A2B2但是

fg? ???A???B??B???A???A?B?B?A???AB??A??AA

?B????B????B

????B ??AB???B ?AB???A?B???AB?? ?AA?AB?AB

???AB. ?AB类似有，

???AB, gf?BA因此

式中

???BA?,B????A??, fg?gf?AB?????,B???BA???AB?? ?A是两个算符之间的对易关系（2.48式）。结论：

2

?1????? [3.62] 22?A?B??A,B.??? ?2i?

这就是（普遍的）不确定原理。你或许会认为i使得这个式子无价值 — 等式的右边是负。其实不然，因为两个厄密算符的对易式本身具有i因子，因此两者相互抵消。17

??(?/i)d/dx）举例来说，假设第一个可观测量是坐标（?，第二个是动量（B。A?x）

在第二章我们曾算出它们的对易式（2.51式）：

?,p???i? ?x所以

?1????22 ?x?p??i?????,

?2i??2?或者，因为标准差由其本质是正值， ?x?p?22?. [3.63] 2这就是最初的海森堡不确定原理，但是现在看来它只是更普遍理论的一个应用而已。

事实上，对每一对其算符不对易的可观测量的都存在一个“不确定原理”— 我们称它们为不相容可观测量。不相容可观测量没有共同的本征函数 — 至少，它们不能有完备的共同本征函数系（参见习题3.15）。相反，相容（可对易的）的可观测量却可以有共同的本

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征函数系。例如，对氢分子来说(我们将在第四章遇到)，哈密顿、角动量的模平方以及角动量的z方向分量是互相相容的可观测量，我们可以构造这三个量的共同本征函数，并以它们各自的本征值来标记。但是没有既是坐标的又是动量的共同本征函数，因为这两个算符不相容。

注意，不确定原理并不是量子力学中一个额外的假设，而是统计诠释的结果。你或许感到奇怪，它在实验室是怎么起作用的呢 — 为什么就不能同时确定(比方说)一个粒子的坐标和动量呢？你当然可以测量一个粒子的位置，但是测量本身使波函数坍塌为一个尖峰，这样波的傅立叶展开中波长(动量)分布范围很宽。如果你此时再去测量动量，这个态就会坍塌为一个长正弦波，（现在）具有确定的波长 — 但是此刻的粒子已经不再处于第一次测量

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时你得到的位置。这样问题是，第二次测量使得第一次测量的结果无效了。只有波函数同时是两个力学量的本征态时，才有可能在不破坏粒子的状态的情况下进行第二次测量（这种情况下第一次坍塌不改变任何事情）。但是，一般来说，这只是在两个可观测量相互对易的情况下才有可能。

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???Q?）更确切地说，两个厄密算符的对易式本身是反厄密算符（Q，而且它的期望值是虚数(习题3.26)。

?这对应着以下事实，非对易的矩阵不能同时对角化（即它们不能被同一个相似变换变为对角矩阵），而对

易的厄密矩阵可以同时被对角化。见A.5节。 19

波尔在努力探索（例如）对x的测量破坏先前已经存在的p的值的机制。问题的关键是想要确定一个粒子的位置就必须用某种东西对它作用——比方说，光照射。但是你无法控制这些光子传递给粒子的动量。现在你知道位置了，却没法再知道动量了。他和爱因斯坦著名的争论中包含了许多趣事，详细展示了实验限制如何影响不确定原理。见P.A.Schilpp所编《哲学科学家爱因斯坦》Tudor, New York （1949）一书中波尔的文章。

*习题3.13

(a) 证明下列的对易关系等式：

?AB,C??A?B,C???A,C?B. [3.64] (b) 证明

nn?1 ??x,p???i?nx.

(c）对任意函数f(x)，更一般的证明 ?f(x),p??i?df. [3.65] dx

*习题3.14 证明著名的 “（名副其实的）不确定原理”联系着坐标（A?x）的不确定和能量（B?p2/2m?V）的不确定： ?x?H?

?p. 2m对于定态这个并不能告诉你更多 ? 为什么？

?和Q?习题3.15 证明两个非对易算符不能拥有共同的完备本征函数系。提示：证明如果P?]f?0。 ?,Q拥有共同的完备本征函数系，则对于希耳伯特空间的任意函数有[P

3.5.2最小不确定波包

我们曾两次遇到波函数达到坐标-动量不确定原理限制极限（?x?p??/2）的情况：谐振子基态（习题2.11）和自由粒子的高斯波包（习题2.22）。这就提出了一个有趣的问题：什么是最一般的最小不确定波包？回望对不确定原理的证明，我们注意到在两个地方出现不等式：方程3.59和方程3.60。假定我们令其成为等式，看看能从中告诉我们?的哪些信息。

对于某些复数c（见习题A.5），当一个函数是另一个函数的倍数：g(x)?cf(x)时，Schwarz不等式变成等式。与此同时，我们舍去方程3.60中的实数部分z；此等同于如果

Re(z)?0，即 Refg?Re(cff)?0。ff必是实数，这就意味着常数c必须是纯虚数—我们将它表示为ia。因此，对最小不确定成立的必要充分条件就是

g(x)?iaf(x), 式中a是实数. [3.66]

对于坐标-动量不确定原理来说这个判据为

??d??p???ia?x?x??, [3.67] ?idx?这是一个作为x的函数?的微分方程。其一般解（习题3.16）是：

?e. [3.68] ?(x)?Ae显然，最小不确定波包是一个高斯波包 — 而且我们之前遇到的两个例子都是高斯波包。20 习题3.16 求方程3.67的解。注意x和p都是常数。

?a?x?x?22?ipx?3.5.3 能量-时间不确定原理

20

注意这里只有?对x依赖才是有有关的—“常数”A，a, x,和p可能都是时间的函数，这种情况下?可能会演变而偏离最小形式。我所能断言的是如果在某个时刻波函数是x的高斯函数，则（在这个时刻）

不确定之积是最小的。

坐标-动量不确定原理常写成下面的形式

?; [3.69] 2对全同体系进行重复测量结果的标准差来说，?x（x的不确定度）是一个不严谨的标记（粗

?x?p?略的语言）。21方程3.69经常和下面的能量-时间不确定原理伴随出现： ?t?E??. [3.70] 2的确，在狭义相对论里，能量-时间的形式可以被认为是坐标-动量版本的的一个推论，因为x和t（或者说ct）在坐标-时间4-矢量里一同变换，而p和E（或者说E/c）在能量-动量4-矢量里一同变换。所以在相对论理论里，方程3.70应该是方程3.69的一个必要的伴随式。但是我们不是在讨论相对论量子力学。薛定谔方程显然是非相对论的：式中赋予x和t非常不同的立足点（在同一微分方程中t是一次导数，而x是二次导数），并且方程3.70显然不被方程3.69所隐含。我们现在的目的是导出能量-时间不确定原理，并且在推导的过程中使你相信，它实际上是另一个完全不同的概念，而它与位置-动量不确定原理表面上的相似之处实际上让人相当误解。

首先，坐标、动量和能量都是动力学变量 — 是体系在任何时刻都可观测的特征。但是时间本身不是动力学变量（在任何情况下，在非相对论中都不是）：你不会像测量坐标和能量一样去测量一个粒子的“时间”。时间是一个独立变量，动力学量是它的函数。特别地，能量-时间不确定原理中的?t不是对时间测量所收集数据的标准差；粗略地讲（一会儿将对此做出更精确的解释）正是时间让体系发生实质性的变化。

当测量一个体系变化有多快时，我们来求某个可观测量的期望值对时间的导数，Q(x,p,t)：

?dd????Q????. Q??Q??Q??????Q

dtdt?t?t?t由薛定谔方程

i?????H? ?t（式中H?p22m?V是哈密顿）。所以

?d1?1?Q???Q??H?Q???QH??.

dti?i??t????HQ??Q???，所以有 ?是厄密算符， H但是H

?di?????QQ?H,Q?. [3.71] ??dt??t

在算符不显含时间的通常情况下，它告诉我们算符期望值的变化率决定于此算符与哈密顿

?对易，则Q是常量，在这个意义上Q是一个守恒量。 ?与H量的对易式。特别地，如果Q现在假设我们在广义不确定原理中（3.62式）令A?H和B?Q，并且假设Q不显含

时间：

?1??????1?dQ?????dQ?22H,Q???? ?H?Q????????. ??2i??2iidt??2??dt?或者，更简洁地，

21

2222不确定原理的许多不经意的应用实际上基于（常常是无意的）完全不同的—有时候并未被证明是正确的—对“不确定”的测量。相反地，一些精辟严密的论征会用到对“不确定”的另外定义。见Jan Hilgevoord, Am.J.Phys. 70,983 (2002)。

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