历届高考数学真题汇编专题10圆锥曲线理(8)

则BC?41?k21?4k2k?,又点A到直线BC的距离d=

122,

1?k∴△ABC的面积S△ABC=

2k?11AB?d?

221?4k4k2?4k?14k于是S△ABC= ?1?4k2?14k2?1由

4k1≥－1,得S,其中,当k=－时,等号成立. 2△ABC≤224k?1∴S△ABC的最大值是2.

58．（四川卷）已知两定点F1?2,0,F2???2,0，满足条件PF2?PF1?2的点P的

?轨迹是曲线E，直线y?kx?1与曲线E交于A,B两点。如果AB?63，且曲线E上存在点C，使OA?OB?mOC，求m的值和?ABC的面积S。

本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分12分。

2又∵ AB?1?k?x1?x2?1?k?22?x1?x2?22?4x1x2 2?2??2k??2?1?k???4?2?21?k1?k??2?1?k??2?k? ?1?k?22用心 爱心 专心 - 36 -

依题意得 2?1?k??2?k??6?1?k?22223 整理后得 28k?55k?25?0

422∴k?5552或k? 但?2?k??1 ∴k?? 742故直线AB的方程为5x?y?1?0 2

59．（四川卷）已知两定点F1(?2,0),F2(2,0),满足条件PF2?PF1?2的点P的轨迹是曲线E，直线ｙ＝kx－1与曲线E交于A、B两点。

（Ⅰ）求ｋ的取值范围； （Ⅱ）如果AB?63,且曲线E上存在点C，使OA?O?B求m,OCm的值和?ABC的面积S。

本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分14分。

解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以F1?2,0,F2左支，

???2,0为焦点的双曲线的

?用心 爱心 专心 - 37 -

且c?2,a?1，易知b?1

故曲线E的方程为x2?y2?1?x?0?

AB?1?k2?x21?x2?1?k??x1?x2??4x1x2 2?1?k2????2k??2 ?1?k2???4?1?k222?2?1?k??2?k?? 1?k2?222依题意得 2?1?k??2?k???61?k2?23 整理后得28k4?55k2?25?0

∴k2?5257或k?4 但?2?k??1 ∴k??52 故直线AB的方程为

52x?y?1?0 设C?x0,y0?，由已知OA?OB?mOC，得?x1,y1???x2,y2???mx0,my0? ∴?mx?x20,my0????x1?m,y1?y2?m??，?m?0?

又x21?x2?k2?145，y?x2k2??21?y2?k1?x2??2?k2?1?2?k2?1?8用心 爱心 专心

- 38 -

∵ ??∴点C??45,8?

?mm???

60（天津卷）如图，以椭

圆

x2y2?2?1?a?b?0?的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点2abF?c,0??c?b?作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连结OA交小圆于点B．设

直线BF是小圆的切线．

2（1）证明c?ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；

（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明

OP?OQ?12b． 2本小题主要考查椭圆的标准方程的几何性质、直线方程。平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.满分14分.

证明：（Ⅰ）由题设条件知，RtOFA∽RtOBF故

2因此，c?ab

OFOBcb?，即? OAOFac2222在RtOFA， FA?OA?OF?a?c?b.

用心 爱心 专心 - 39 -

因此，c2?ab.

在RtOFA中 ，FA＝OA2?OF2?a2?c2?b. 于是，直线OA的斜率koa?b1c.设直线BF的斜率为k，则k????. ckoab这时，直线BF与y轴的交点为M(0,a)

a3b2a2b2(b?a)a2b3??33 综上，得到OP?OQ?x1x2?y1y2?3333a?ba?ba?b222222注意到a?ab?b?a?c?b?2b，得

a2b3a2b3a2bac2a(a2?b2)12OP?OQ?33?????(a?ab)

a?b(a?b)?2b22(a?b)2(a?b)2(a?b)2 ?1221(a?c)?b2 22x2y2561．（天津卷）如图，双曲线2?2?1(a?0，b?0)的离心率为．F1，F2分别为

ab2·F2M??左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且F1M（Ⅰ）求双曲线的方程；

1． 40)和B?（Ⅱ）设A(m，?1?过点A作斜率不为0的直线l，，0?(0?m?1)是x轴上的两点，

m??用心 爱心 专心 - 40 -

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