历届高考数学真题汇编专题10圆锥曲线理(4)

则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝

8k23?4k2.

?(y?m)2?2px 由? 消去y得(kx?k?m)2?2px. ………………②

?y?k(x?1)因为C2的焦点F?(,m)在直线y??6(x?1)上，所以m??6(?1).

2323? m?66或m??． 33664

或m??，p?． 333

由上知，满足条件的m、p存在，且m?解法二：

设A、B的坐标分别为(x1,y1)，(x2y2)．

因为AB既过C1的右焦点F(1,0)，又过C2的焦点F?(p,m)， 2pp11所以AB?(x1?)?(x2?)?x1?x2?p?(2?x1)?(2?x2).

2222用心 爱心 专心 - 16 -

即x1?x2?2(4?p). ……① 3由（Ⅰ）知x1?x2,p?2，于是直线AB的斜率k?y2?y1m?02m， ……② ??px2?x1p?2?12且直线AB的方程是y?2m(x?1), p?2所以y1?y2?2m4m(1?p). ……③ (x1?x2?2)?p?23(p?2)22?y?y1?3x1?4y1?12?0. ……④ 又因为?，所以3(x1?x2)?4(y1?y2)?222x?x21??3x2?4y2?12x2y2??1，抛物线C2：(y?m)2?2px(p?0)，且C1、C2的公共45．（湖南卷）已知椭圆C1：43弦AB过椭圆C1的右焦点.

（Ⅰ）当AB?x轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上； （Ⅱ）若p?

4

且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程. 3

解 （Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为 x=1，从而点A的坐标为（1， 因为点A在抛物线上，所以 此时C2的焦点坐标为（

33）或（1，－）. 2299?2p，即p?. 489，0），该焦点不在直线AB上. 16用心 爱心 专心 - 17 -

（Ⅱ）解法一 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y?k(x?1).

?y?k(x?1)?由?x2y2消去y得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0. ……①

?1??3?4设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）, 则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝

8k23?4k2.

解法二 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程

为y?k(x?1).

8?28?(y?m)?x2由?3消去y得(kx?k?m)?x. ……①

3?y?k(x?1)?因为C2的焦点F?(,m)在直线y?k(x?1)上， 所以m?k(?1)，即m??k.代入①有(kx?222323132k28)?x. 33424k2?0. ……② 即kx?(k?2)x?39用心 爱心 专心 - 18 -

设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）, 则x1,x2是方程②的两根，x1＋x2＝

4(k2?2)3k2.

?y?k(x?1)?由?x2y2消去y得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0. ……③

??4?3?1解法三 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,

因为AB既过C1的右焦点F(1,0)，又是过C2的焦点F?(23,m)， 所以AB?(x?p2)?(xp1112?2)?x1?x2?p?(2?2x1)?(2?2x2).

即x21?x2?3(4?p)?169. 由（Ⅰ）知x1?x2，于是直线AB的斜率k?y2?y1m?0x?x??3m， 2123?1且直线AB的方程是y??3m(x?1), 所以y1?y2??3m(x1?x2?2)?2m3. ……③又因为???3x12?4y12?12，所以3(xy?y?1?x1?0. ……④ ?3x22?4y22)?4(y1?y2)?22?12x2?x1将①、②、③代入④得m2?23，即m?63或m??63. 当m?63时，直线AB的方程为y??6(x?1)； 用心 爱心 专心 ……① ……② - 19 -

当m??6时，直线AB的方程为y?6(x?1). 346．（江苏卷）已知三点P（5，2）、F1（－6，0）、F2（6，0）. （Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为P?、F1'、F2'，求以F1'、F2'为焦点且过点P?的双曲线的标准方程。

本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。

x2y247．（江西卷）如图，椭圆Q：2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(c，0)，过点F的一动直线

aby m绕点F转动，并且交椭圆于A，B

两点，P为线段AB的中点． （1）求点P的轨迹H的方程；

2（2）若在Q的方程中，令a?1?cos??sin?，

B O F P A D x

l ???b2?sin??0??≤?．设轨迹H的最高点和最

???低点分别为M和N．当?为何值时，△MNF为一个正三角形？

x2y21（a?b?0） 解：如图，（1）设椭圆Q：2＋2＝ab上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则

用心 爱心 专心 - 20 -

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