历届高考数学真题汇编专题10圆锥曲线理(3)

解得|k|?1又OA?OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k）x1x2＋kb（x1

2

2k2＋24＝2＋2?2 ＋x2）＋b＝2k－1k－12

综上可知OA?OB的最小值为2

x2y240．（北京卷）椭圆2?2?1(a,b?0)的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且P F1⊥PF2,,|

abP F1|=

414,,| P F2|=. 332

2

（I）求椭圆C的方程；

（II）若直线L过圆x+y+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）+(y－1)=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1?x2且

2

2

xy 1?1?1,

94xy 2?2?1,

94由①－②得

2222 ①

②

(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??0.

94③

因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,

用心 爱心 专心 - 11 -

代入③得

y1?y288＝，即直线l的斜率为， 99x1?x28（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题9所以直线l的方程为y－1＝意.)

x2?y2?1的左焦点为F，O为坐标原点。 41．（福建卷）已知椭圆2（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段

AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.

本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。

（II）设直线AB的方程为y?k(x?1)(k?0),

x2?y2?1,整理得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0. 代入2直线AB过椭圆的左焦点F，?方程有两个不等实根。

4k2, 记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0), 则x1?x2??22k?11?AB的垂直平分线NG的方程为y?y0??(x?x0). 令y?0,得

k

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2k2k2k211xG?x0?ky0??2?2??2???2.2k?12k?12k?124k?2 1k?0,???xG?0,21?点G横坐标的取值范围为(?,0).

2

x2?y2?1的左焦点为F，O为坐标原点。 42．（福建卷）已知椭圆2

（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；

（II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x?y?0上，

求直线AB的方程。

本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。

（II）设直线AB的方程为y?k(x?1)(k?0),

x2?y2?1,整理得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0. 代入2直线AB过椭圆的左焦点F，?方程有两个不等实根，

4k2, 记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),则x1?x2??22k?112k2kx0?(x1?x2)??2,y0?k(x0?1)?2,

22k?12k?12k2k?2?0, 线段AB的中点N在直线x?y?0上，?x0?y0??22k?12k?1用心 爱心 专心

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1?k?0，或k?.

2当直线AB与x轴垂直时，线段AB的中点F不在直线x?y?0上。

?直线AB的方程是y?0,或x?2y?1?0.

x2y243．（湖北卷）设A,B分别为椭圆2?2?1(a,b?0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长

ab等于焦距，且x?4为它的右准线。

（Ⅰ）、求椭圆的方程；

（Ⅱ）、设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。

点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

将○1代入○2，化简得BM·BP＝

5（2－x0）. 2∵2－x0>0，∴BM·BP>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角， 故点B在以MN为直径的圆内。

用心 爱心 专心 - 14 -

x2y2??1,抛物线C2:(y?m)2?2px(p?0),且C1、C2的44．（湖南卷）已知椭圆C1:43公共弦AB过椭圆C1的右焦点.

(Ⅰ)当AB⊥x轴时,求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上； (Ⅱ)是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由.

解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为： x =1，从而点A的坐标为（1，此时C2的焦点坐标为（

3399）或（1，－）. 因为点A在抛物线上.所以?2p，即p?.22489，0），该焦点不在直线AB上. 16（II）解法一： 假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为y?k(x?1)．

?y?k(x?1)?由?x2y2消去y得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0…① ?1??3?4设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,

O y A x B 用心 爱心 专心 - 15 -

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