4A(x1,y1),B(x2,y2)，则Q(?,0)
k5
4．（山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程.
x2y2解：设椭圆方程为2?2?1(a?b?c)
ab?b?c2?a?2?2?2?2a?4??b?1 （Ⅰ）由已知得?c??c2?1222???a?b?c∴所求椭圆方程为
x2?y2?1. 2用心 爱心 专心
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解法1：对S?16k2?241?2k2两边平方整理得：4S2k4?4(S2?4)k2?S2?24?0（*）
∵S?0，
???16(S2?4)2?4?4S2(S2?24)?0,
??4?S22?0
整理得：S2?1?S2 ??S2?24?4S2?0
又S?0， ?0?S?22
从而SAOB的最大值为S?22， 此时代入方程（*）得 4k4?28k2?49?0?k??142 所以，所求直线方程为：?14x?2y?4?0. 解法2：令m?2k2?3(m?0)， 则2k2?m2?3
?S?22m222m2?4?? m?42m用心 爱心 专心
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当且仅当m?4即m?2时， m
Smax?2 2
此时k??14. 2所以，所求直线方程为?14?2y?4?0
55．(陕西卷) 如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M→→→→→→
满足AD=tAB, BE = t BC, DM=t DE, t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M的轨迹方程.
→→→O 解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由AD=tAB, BE = t －2 －1 ?xD=－2t+2?xE=－2t→
BC, 知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2).∴? 同理 ? .
?yD=－2t+1?yE=2t－1
E －1 B C M 1 D 2 x
y A yE－yD2t－1－(－2t+1)
∴kDE = = = 1－2t.
xE－xD－2t－(－2t+2)
∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1]. →→(Ⅱ) ∵DM=t DE
第21题解法图 ∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t－2t).
?x=2(1－2t)∴?2 , ?y=(1－2t)
2
用心 爱心 专心 - 33 -
x2
∴y= , 即x=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].
4即所求轨迹方程为: x=4y, x∈[－2,2]
2
2
56．(上海卷)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点． （1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA?OB＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
2
??????当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6). ∴OA?OB=3；
当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y?k(x?3)，其中k?0，
?y2?2x 由?得 ky2?2y?6k?0?y1y2??6
?y?k(x?3) 又 ∵ x1?1y12,x2?1y22，
22 ∴OAOB?x1x2?y1y2?1(y1y2)2?y1y2?3，
4 综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么OA?OB=3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线l交抛物线y=2x于A、B两点,如果OA?OB=3,那么该直线过
2
点T(3,0).该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(
1,1)，此时OAOB=3,直线AB的方程为：2y?2(x?1)，而T(3,0)不在直线AB上；
3用心 爱心 专心 - 34 -
说明：由抛物线y=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足OA?OB=3，可得y1y2=－6， 或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).
57．(上海卷)已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
2
F(?3,0),右顶点为D(2,0),设点A??1??1,2??.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程； （3）过原点O的直线交椭圆于点B,C，求?ABC面积的最大值。
当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入x24?y2?1, 解得B(
2k－
2－
2k4k2,
2?14k2),C(?14k2,?14k2),
?1用心 爱心 专心 (3)
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