222222?1）?bx1＋ay1＝ab…………（ ?222222??bx2＋ay2＝ab…………（2）1?当AB不垂直x轴时，x1?x2，
由（1）－（2）得b（x1－x2）2x＋a（y1－y2）2y＝0
2
2
y1－y2b2xy ?＝－2＝x1－x2ayx－c22
22
2
?bx＋ay－bcx＝0…………（3）
2?当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3） 故所求点P的轨迹方程为：bx＋ay－bcx＝0
22
22
2
48．（辽宁卷）已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2?0)是抛物线y2?2px(p?0)上的两个动点,O是坐标原点,向量OA,OB满足OA?OB?OA?O.B设圆C的方程为
x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0
(I) 证明线段AB是圆C的直径;
(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。 【解析】(I)证明1:
22OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)2?(OA?OB)2
22OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB
整理得: OA?OB?0?x1?x2?y1?y2?0
设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则MA?MB?0 即(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0 整理得:x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0 故线段AB是圆C的直径
用心 爱心 专心 - 21 -
证明3:
OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)2?(OA?OB)2
OA2?2OA?OB?OB2?OA2?2OA?OB?OB2
整理得: OA?OB?0?x1?x2?y1?y2?0……(1) 以线段AB为直径的圆的方程为
(x?x1?x22)2?(y?y1?y2212)?4[(x21?x2)?(y1?y22)] 展开并将(1)代入得:x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0 故线段AB是圆C的直径
?x?x1?x2(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则???2?y
?y?y12??222y22y1?2px?x1y21,y2?2px2(p?0)1x2?4p2 又因x?yy21y221?x21?y2?0?x1?x2??y1?y2??y1?y2?4p2
x1?x2?0,?y1?y2?0?y1?y2??4p2
x?x1?x22?14p(y2?y214p(y22yyy2112)?1?y2?2y12)?14p?p(y2?2p2)所以圆心的轨迹方程为y2?px?2p2 设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
用心 爱心 专心
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12(y?2p2)?2y||x?2y||y2?2py?2p2||(y?p)2?p2|pd??? ?555p5p|当y=p时,d有最小值pp25,由题设得 ?p?2. ?555设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为25,则m??2 5因为x-2y+2=0与y2?px?2p2无公共点,所以当x-2y-2=0与y2?px?2p2仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为25 5?x?2y?2?0(2)22将(2)代入(3)得y?2py?2p?2p?0 ?22(3)?y?px?2p???4p2?4(2p2?2p)?0
p?0?p?2.
x1?x2?x???2解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则?
y?y2?y?1??2x1?x2?(y1?y2)|2圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则d?
5|用心 爱心 专心 - 23 -
y12y22 y?2px1,y2?2px2(p?0)?x1x2?24p212y12y22又因x1?x2?y1?y2?0?x1?x2??y1?y2??y1?y2? 24p49．（辽宁卷）已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2?0)是抛物线y2?2px(p?0)上的两个动点，O是坐标原点，向量OAOB，满足|OA+OB?||O-AO，|B设圆C的方程为
x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0．
（1）证明线段AB是圆C的直径；
（2）当圆C的圆心到直线x?2y?0的距离的最小值为
25时，求p的值． 5解析：本小题主要考查平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程，点到直线的距离等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。
（I）证法一：
OA?OB?OA?OB,
?OA?OB??2?OA?OB,即OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB,
?22222整理得OA?OB?0.?x1x2?y1y2?0.......................12分 设点M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则MA?MB?0. 即(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0.
展开上式并将①代入得x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0. 故线段AB是圆C的直径。
?（OA?OB）=（OA?OB），证法二：|OA?OB|?|OA?OB|，
即OA2?2OA?OB?OB2?OA2?2OA?OB?OB2，
用心 爱心 专心
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22整理得OA?OB?0?x1x2?y1y2?0①……3分 若点?x,y?在以线段AB为直径的圆上，则
y?y1x-x?y?y2x?x??1(x?x1,x?x2) 12去分母得(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0
点?x1,y1?,?x1,y2?,?x2,y1?,?x2,y2?满足上方程，展开并将①代入得
x2?y2??x1?x2?x??y1?y2?y?0
所以线段AB是圆C的直径.
?x1?xC的圆心为C?x,y?，则??x?2?2,
?y?y1?y2??2,2y2?2px2y21y211,y2?2px2(p?0)，?x1x2?4p2 又x?yy2y2121x21y2?0,?x1x2??y1y2,??y1y2?4p2 x1x2?0,y1y2?0,?y1y2??4p2
?x?x1?x22?14p(y22122yy11?y2)?4p(y1?y2?2y1y2)?122p?p(y2?2p2) 所以圆心的轨迹方程为：y2?px?2p2 设圆心C到直线x?2y?0的距离为d，则
|1d?|x?2y|(y2?2p2)?2y||(5?py?p)2?p2|5?5p 用心 爱心 专心 - 25 -
（Ⅱ）解法一：设圆
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