高中数学必修5导学案

高一数学必修5 导学案

§1.1.1 正弦定理

学习目标 1. 掌握正弦定理的内容；

2. 掌握正弦定理的证明方法；

3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 学习过程 一、课前准备

试验：固定?ABC的边CB及?B，使边AC绕着顶点C转动．

思考：?C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角?C的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

二、新课导学 ※ 学习探究

探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，

根据锐角三角函数中正弦函数的定义， abc有?sinA，?sinB，又sinC?1?， cccabc从而在直角三角形ABC中，． ??sinAsinBsinC

(

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，

ab有CD=asinB?bsinA，则， ?sinAsinBcb同理可得， ?sinCsinBabc从而． ??sinAsinBsinC

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类似可推出，当?ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.

新知：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即

abc． ??sinAsinBsinC 试试：

（1）在?ABC中，一定成立的等式是（ ）． A．asinA?bsinB B.acosA?bcosB C. asinB?bsinA D.acosB?bcosA

（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于 ．

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksinA， ，c?ksinC；

abccbac（2）等价于 ，，． ????sinAsinBsinCsinCsinBsinAsinC（3）正弦定理的基本作用为：

bsinA①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?；b? ．

sinB②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，

a如sinA?sinB；sinC? ．

b（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．

※ 典型例题

例1. 在?ABC中，已知A?45?，B?60?，a?42cm，解三角形．

变式：在?ABC中，已知B?45?，C?60?，a?12cm，解三角形．

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例2. 在?ABC中，c?6,A?45?,a?2,求b和B,C．

变式：在?ABC中，b?3,B?60?,c?1,求a和A,C．

三、总结提升 ※ 学习小结

abc ??sinAsinBsinC2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， 还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；

②已知两边和其中一边的对角．

1. 正弦定理：

※ 知识拓展 abc???2R，其中2R为外接圆直径. sinAsinBsinC 学习评价

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※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

cosAb1. 在?ABC中，若?，则?ABC是（ ）.

cosBaA．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4， 则a∶b∶c等于（ ）.

A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶3 D．2∶2∶3 3. 在△ABC中，若sinA?sinB，则A与B的大小关系为（ ）. A. A?B B. A?B

C. A≥B D. A、B的大小关系不能确定

4. 已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，则a:b:c= ． 5. 已知?ABC中，?A?60?，a?3，则

a?b?c= ．

sinA?sinB?sinC 课后作业 1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120?，解此三角形．

2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围为．

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§1.1.2 余弦定理

学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式；

2. 证明余弦定理的向量方法；

3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 学习过程 一、课前准备

复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．

复习2：在△ABC中，已知c?10，A=45?，C=30?，解此三角形．

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

二、新课导学 ※ 探究新知 问题：在?ABC中，AB、BC、

???? ∵AC? ， ????????∴AC?AC?

CA的长分别为c、a、b.

CbaBAc

同理可得： a2?b2?c2?2bccos，A c2?a2?b2?2abcosC．

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