教案(6)

设计依据：使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知；培养学习自主探索的能，并体会直线的方程就是直线上任意一点的坐标（x,y）满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法。 四，教学概念设计

老师：我们在前面学习了，在平面直角坐标系内要确定一条直线的位置，需要一个点和这条直线的倾斜角。

【引例】那么现在假设直线l经过点P0（x0，y0），且斜率为k，那么若P（x，y）为直线l上任一点（其中x≠x0），请建立x，y， x0，y0及k之间的关系。（由学生自主根据斜率公式写出，教师适当点拨基础较差的学生）

解：由直线上两点的斜率公式，当x≠x0时，有

即y – y0 = k (x – x0) （1）

【问题1】过点P0（x0，y0），斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？（学生验证，教师引导）

【答】：满足。

【问题2】坐标满足方程（1）的点都在经过P0（x0，y0），斜率为k的直线l上吗？（学生验证，教师引导）

【答】：若点P1（x1，y1）的坐标x1，y1满足方程（1），即y – y1 = k (x – x1) ，

若x=x1，则y=y1，说明P1与P0重合，于是可得点P1在直线l上；

若x≠x1，则k?y1?y0，说明过点P1与P0的直线斜率为k，于是可得点P

x1?x0过点P0（x0，y0），斜率为k的直线上。

老师：经过前面的探究，我们可以知道y – y0 = k (x – x0)由直线上的一点及其斜

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率确定，我们把方程y – y0 = k (x – x0)叫做直线点斜式方程，简称点斜式。下面我们来看看思考：

【思考1】x轴所在直线的方程是什么？y轴所在直线的方程是什么？ 【答】：y=0;x=0

【思考2】经过点P0（x0，y0）且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？经过点P0（x0，y0）且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？（如图3.2-2,3.2-3）

l

P l P

图3.2-3 图3.2-2

【答】：由图3.2-2知，直线l倾斜角为0°，即k=0，所以直线l的方程为y – y0 = 0或y=y0；

由图3.2-3知，直线l倾斜角为90°，斜率k不存在，则不能用点斜式方程表示直线l的方程，因为这时直线l上的每一点横坐标都等于x0，所以方程为x-x0 =0或x=x0

概念应用【例1】直线l经过点P（-2,3），且斜率为α=45°求直线l的点斜式方程。 解：直线l经过点P（-2,3），斜率k=tan45°=1，代入点斜式方程得y-3=x+2，则方程y-3=x+2即为所求。

老师：下面我们再来看一下特殊的点斜式方程：（由学生探究，教师指导） 假设若直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b），代入直线的点斜式方程，得 y-b=k（x-0） 即y=kx+b; （2）

我们把直线l与y轴交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距，方程（2）由直线的斜率k与它在y轴上的截距b就确定，所以方程（2）叫做直线的斜截式方程。 【思考3】观察方程y=kx+b，它的形式具有什么特点？（学生思考讨论，教师及时给与评价） 【答】我们发现，左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义：

k直线l的斜率，b为直线在y轴上的截距。

【思考3】直线y=kx+b在x轴上的截距是什么？（学生思考讨论，教师及时给与评价） 【答】若x?byb?，则直线y=kx+b在x轴上的截距为x? kkk 4.1.2 圆的一般方程

一、 地位与作用，并分析确定其教学重点、难点。

（1）地位：《圆的一般方程》是人教版高中数学必修二第四章第一节第二课时的内容。

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作用：①巩固和深化旧知识②为学习直线与圆的位置关系、

圆锥曲线等内容打下基础③ 本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。 （2）确定教学重点、难点的依据

依据：新课程标准的教学理念、针对教学内容的特点 （3）教学重点、难点 重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.

难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 二、分析确定教学目标及其依据。（18分） 答题要点及评分标准： （1） 知识与技能方面:

① 掌握圆的一般方程及一般方程的特点

② 能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径 ③能用待定系数法由已知条件求出圆的方程

依据：根据课程标准的要求，圆的一般方程是学生必须掌握了曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的，所以为本节课的学习奠定了基础。 （2） 过程与方法方面

① 进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力 ②加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的应用

依据：由于学生学习解析几何的时间还不长，学习程度较浅，且对代数法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强。

（3） 情感态度价值观方面

① 培养学生主动探究知识，合作交流意识 ② 培养学生勇于思考，探究问题的精神

③ 在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣

依据：根据学生已有的认知结构和心理特征，引导他们在数学学习中发现美，进而激发学习兴趣。

三、设计课堂教学引入部分的教学片断，并说明设计意图。 ①说出圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程.

②学生练习:将以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程展开并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.

③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.

④能不能说方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容 设计意图：①通过复习旧知识，创设了良好的学习情景，自然而然地引出新知识;②使学生明确本节课要讲的内容，激发了学生学习兴趣和积极性；③问题探究法的能使学生积极思考问题，有利于培养学生勇于思考的能力。 四、说明数学概念教学的一般步骤。 （1）概念的引入：把标准形式展开,

22①把式子x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得 (x?D)2?(y?E)2?D?E?4F

224②(x－a)2＋(y－b)2=r2中,r＞0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r＜0时不表示任何图形.

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22③(x?D)2?(y?E)2?D?E?4F

224E(ⅰ)当D2+E2-4F=0时,方程有实数解x??D;y??E，它表示一个点(?D,?);

2222(ⅱ) 当D2+E2-4F＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形

(ⅲ) 当D2+E2-4F＞0时,表示以(- ,- )为圆心, 为半径的圆，x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程。

22

综上，方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是一个圆。 只有当D2?E2?4F?0，是方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲线才是一个圆，此时我们

2

2

称x+y+Dx+Ey+F=0为圆的一般方程。注意：当我们说圆的一般方程是不能漏掉条件22

D2?E2?4F?0

（2）概念的明确：当D2+E2-4F＞0时,表示以(- ,- )为圆心, 为半径的圆，x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程

（3）概念的应用：求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.

设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圆上,则有

解得D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x－4)2＋(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.

4.2.1直线与圆的位置关系

一、 地位与作用，并分析确定其教学重点、难点。 （1）地位：《直线与圆的位置关系》是人教版高中数学必修二第四章第二节第一课时的内容。 作用：①巩固和深化旧知识②为学习圆与圆的位置关系、

圆锥曲线等内容打下基础③本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。 （2）确定教学重点、难点的依据

依据：新课程标准的教学理念、针对教学内容的特点 （3）教学重点、难点

重点：直线与圆的位置关系

难点：用解析法判断直线与圆的位置关系 二、分析确定教学目标及其依据。（18分） 答题要点及评分标准： （4） 知识与技能方面:

③ 能根据改定直线，圆的方程，掌握判断直线与圆的位置关系的两种方法，几

何法和解析法；

④ 能综合应用直线与圆的位置关系解决一些简单问题

依据：学生已学会利用平面几何知识来判断直线与圆的位置关系的方法。但我们还要从直线与圆的方程研究问题即解析法。本节课将引导学生进一步挖掘直线与圆的位置关系中的“数”的关系，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。 （5） 过程与方法方面

② 经历理论与实际的联系，培养学生应用数形结合与方程的思想解决问题的意

识；

③ 经历探索判断直线与圆的位置关系，使学生参与数学实践

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依据：新课标标准的要求是能根据直线与圆的方程判断其位置关系，体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”与“数”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用。

（6） 情感态度价值观方面

④ 让学生参与用解析法探求直线与圆的位置关系的过程，让学生认识到解析法

解决平面几何问题的优越性。

⑤ 通过学生的自主探究，小组合作合作勇于思考，培养学生的团队精神和主动

学习的良好习惯。

依据：通过之前的学习，学生已具备了一定的探究能力，但灵活运用数形结合思想，方程思想解题的能力以及团队精神有待加强。

三、设计课堂教学引入部分的教学片断，并说明设计意图。 ①早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程，你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系，你发现了吗？ ②直线与圆的位置关系：

(1)直线与圆________，有两个公共点； (2)直线与圆________，只有一个公共点； (3)直线与圆________，没有公共点． ③几何判定法：

设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：

(1)d>r?圆与直线________；(2)d＝r?圆与直线________； (3)d

设计意图：①通过创设了良好的学习情景，复习旧知识，自然而然地引出新知识;②使学生明确本节课要讲的内容，激发了学生学习兴趣和积极性；③从富有启发性的生活情境出发，有利发展学生学以致用的能力。 四、说明数学概念教学的一般步骤。

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