全国Ⅰ卷理科数学高考分析及2018年高考预测：全国Ⅰ卷理科数学20(8)

十七、概率统计大题：

8 年 8 考，每年 1 题．第 1 问多为统计问题，第 2 问多为分布列、期望计算问题；特点：实 际生活背景在加强．冷点：回归分析，独立性检验．但 2015 年课标全国Ⅰ已经非常灵活地考了 回归分析，独立性检验在 2010 年课标卷考过，估计近年不会再考回归分析，可能会在求分布列 上设计应用情景．有人说，理科的概率分布列应该属于创新行列．我不这么认为，概率与分布 列不是追求创新，而是追求与实际的完美结合．概率不是新颖，而是力求联系实际，与实际问 题相吻合．但苦于找不到合适的案例，所以有时会事与愿违，但命题人员的初衷却是如此。

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年份 题目及答案 （本小题满分 12 分） 2017 年 （19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件， 并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的 尺寸服从正态分布 N (?,? ) ． 2 (? ? 3? , ? ? 3? ) 之 （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 P( X ? 1) 及 外的零件数，求 X 的数学期望； (? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的零件，就认为这条生 （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 1 16 1 16 1 16 2 2 2 2 x ?? ? xi ? 9.97 ， 经计算得 s ?? ( x? x ) ?? (x?16x ) ? 0.212 ，其?i ? 16 i ?1 16 i ?1 i 16 i ?1 xi 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ? 1, 2, ? ? ?,16 ． 中 ? 的估计值 ? ，用样本标准差 s 作为? 的估计值??x 作为 ? ，利用估计值判断 用样本平均数 ? 和 ? ? 3?? , ?? ? 3?? ) 之外的数据，(?是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 用剩下的数据估计 ? （精确到 0.01）． P(? ? 3? ? Z ? ? ? 3? ) ? 0.997 4 ， 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N (?,? 2 ) ，则 0.997 416 ? 0.959 2 ， 0.008 ? 0.09 ． ? ? ? 3? ，? ? 3? ? 之内的概率为 ? ? ? 3? ，? ? 3? ? 之外 解：（1）由题可知尺寸落在 0.9974 ，落在 0.0026 ． 的概率为 P ? X ? 0? ? C0 1 ? 0.9974?0.997416 ? 0.9592 ， 16 ?0 P ? X ? 1? ? 1 ? P ? X ? 0? ? 1 ? 0.9592 ? 0.0408 ． 由题可知 X ~ B ?16 ，0.0026? ， ? E ? X ? ? 16 ? 0.0026 ? 0.0416 ． ? ? ? 3? ，? ? 3? ? 之外的概率为 0.0026 ，由正态分布知尺寸落在 （2）（i）尺寸落在 ? ? ? 3? ，? ? 3? ? 之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理． ? ? 3? ? 9.97 ? 3 ? 0.212 ? 9.334 （ii） ? ? 3? ? 9.97 ? 3 ? 0.212 ? 10.606 10.606??? ? ? 3? ，? ? 3? ? ? ?9.334 ，?9.22 ? ?9.334 ，10.606? ，? 需对当天的生产过程检查．

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因此剔除 9.22 ． 剔除数据之后 ? 的估计值为： 9.97 ?16 ? 9.22 15 ? 10.02 ? xi=1 16 2 i =16 ? 0.2122 +16 ? 9.972 ? 1591.134 剩下样本数据的方差为 1 2 1591.134-9.22-15 ?10.022）? 0.008（ 15 所以? 的估计值为为 0.008 ? 0.09 （本小题满分 12 分） 2016 年 （19）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时， 可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在 三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表 示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. （I）求 X 的分布列； （II）若要求 P( X ? n) ? 0.5 ，确定 n 的最小值； （III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n ? 19 与 n ? 20 之中选其一，应选用 哪个？ 19．(I)由题意每台机器更换的易损零件数为 8，9，10，11 的概率分别为 0.2 ， 0.4 ， 0.2 ， 0.2 .????1 分 两台机器甲乙需要同时购买的易损零件个数 X 的情况可由下面的表格得到 X 8 9 10 8 16 17 18 38

9 17 18 19 10 18 19 20 11 19 20 21

11 19 20 21 22 所以 X ? 16,17,18,19, 20, 21, 22 ????2 分 且结合表格容易得 P ? X ? 16? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04 P ? X ? 17 ? ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.16 P ? X ? 18? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.24 P ? X ? 19? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ?0.2 ? 0.4 ? 0.24 P ? X ? 20? ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 P ? x ? 21? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.08 P ? x ? 22? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04 ????7 分 所以 X 的分布列为 X P 16 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 21 22 0.08 0.04 ????8 分 （II）由分布列知P( X ? 18) ? 0.04 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.44 ? 0.5 ， P( X ? 19) ? 0.04 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.24 ≥ 0.5 ， 所以 n 的最小值为 19.????10 分 （III） 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备 件不足时额外购买的费用 当 n ? 19 时，费用的期望为19 ? 200 ? 500 ? 0.2 ? 1000 ? 0.08 ? 1500 ? 0.04 ? 4040 当 n ? 20 时，费用的期望为 20 ? 200 ? 500 ? 0.08 ? 1000 ? 0.04 ? 4080 所以应选用 n ? 19 ????12 分 （本小题满分 12 分） 2015 年 （19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元） 对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 x1 和年销售量 y1 （i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计 量的值．

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x y ??? ( xi ? x)i ?1 8 2 ? (? ? ?)i i ?1 8 2 ? ( x? x)( yi i ?1 8 i ? y) ? (?? ?)( yi i ?1 8 i ? y) 46. 56 6.8 289.8 6 3 表中?i x ??i ， ? ? 1.6 1 8 1469 . 108.8 8 i ?1 ??i （Ⅰ）根据散点图判断， y ? a ? bx 与 y ? c ? d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年 宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率 z 与 x, y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ．根据（Ⅱ）的结果回答 下列问题： （i） 年宣传费 x ? 49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据 (u1 , v1 ) ，(u2 , v2 ) ，?，(un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为：

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