全国Ⅰ卷理科数学高考分析及2018年高考预测：全国Ⅰ卷理科数学20

2010-2017 年高考课标全国Ⅰ卷理科数学分析

及 2018 年高考预测

2018 年高考，除北京、天津、上海、江苏、浙江实行自主命题外，其他 26 个省市区全部使 用全国卷．

引例 1（2014 年全国乙卷（Ⅰ卷）文 12 理 11）已知函数 f (x) ? ax3 ? 3x2 ? 1 ，若 f (x) 存在唯一的零点 x0 ，

且 x0 ? 0 ，则 a 的取值范围是（

）

C． (??, ?2)

D． (??, ?1)

A． (2, ??) B． (1, ??)

引例 2（2015 年全国乙卷（Ⅰ卷）理 12）设函数 f (x) ? ex (2x ?1) ? ax ? a ，其中 a ? 1 ，若存在唯一的整

数 x0 使得 f (x0 ) ? 0 ，则 a 的取值范围是（

）

3 3

C．[ , )

2e 4

3 D．[ ,1)

2e

3 A．[? ,1)

2e 3 3 B．[? , )

2e 4

以上两题大同小异，问题相似，解法也类似，启发我们研究 2010-2017 年高考数学课标全 国卷真题，从真题中发现命题规律.

引例 3（2016 年全国乙卷（Ⅰ卷）文 21）已知函数 f (x) ? (x ? 2)ex ? a(x ?1)2 . （Ⅰ）讨论 f (x) 的单调性； （Ⅱ）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围. 引例 4（2017 年全国乙卷（Ⅰ卷）理 21）已知函数 f (x) ? ae2 x ? (a ? 2)ex ? x . （Ⅰ）讨论 f (x) 的单调性； （Ⅱ）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围.

以上两例，如出一辙，题设函数类似，设问方式相同，启发我们研究 2010-2017 年高考数 学课标全国卷真题，从真题中发现命题规律.

研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的 知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了 全国卷命题的灵魂．基于此，笔者潜心研究近 8 年全国高考理科数学Ⅰ卷和高考数学考试说明， 精心分类汇总了全国卷近 8 年所有题型．为了便于读者使用，所有题目分类（共 21 类）列于表 格之中，按年份排序．高考题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们 及时解答对照答案，所有解答题的答案直接列在题目之后，方便查看．

一、集合与简易逻辑

1.集合： 8 年 6 考，都是交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但 是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大．

1

年份 题目 2017 年 （1）已知集合 A={x|x<1}，B={x| 3x ? 1 }，则 A ? B ? {x | x ? 0} B． A ? B ? {x | x ? 1} D． A． A ? B ? R C． A ? B ?? 答案 A 2016 年 B ? {x | 2x ? 3 ? 0} ，则 （1）设集合 A ? {x | x? 4x ? 3 ? 0} ， A ? B ??3 3 3 3 (?3, ? ) (?3, ) (1, ) ( （A） （B） （C） （D） , 3) 2 2 2 2 2 D 2014 年 2 （1） 已知集合 A={ x | x? 2x ? 3 ? 0 }，B= ?x ?2 ? x ? 2?，则 A ? B = A A .[-2,-1] B .[-1,2] 2C .[-1,1] D .[1,2] 2013 年 （1）已知集合 A=｛x|x－2x＞0｝，B=｛x| ? 5 ? x ?? 5 ｝，则 A、A∩B=? B、A∪B=R C、B?A D、A?B B 2012 年 （1）已知集合 A ? {1, 2, 3, 4, 5} , B ? {(x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ,则 B 中所含 D 元素的个数为 2010 年 ( A) 3 (B) 6 (C) 8 (D) 10 D

2.简易逻辑：

8 年 2 考（2017 年在复数题中涉及真命题这个概念）．这个考点包含的小考点较多，并且 容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与 否命题；冷点：全称与特称（2015 考的冷点），思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类， 一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂．

年份 2015 年 （A）? n? N, n2 > 2n （C）? n? N, n2 ≤ 2n 2010 年 题目 （3）设命题 P： ? n? N， n2 > 2n ，则 ? P 为 （B） ? n? N, n2 ≤ 2n （D） ? n? N, n2 = 2n 答案 C C

2

二、复数： 8 年 8 考，每年 1 题，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算 的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标等．

年份 2017 年 （3）设有下面四个命题 题目 答案 B 1 z ? R ，则 z z ? R ； z ? R ； p ：若复数 满足 p z2 ? R ，则 1 2：若复数 满足 z z1 ? z2 ； z ? R ，则 z ? R . p3 ：若复数 z1 , z2 满足 z1 z2 ? R ，则 p4 ：若复数 其中的真命题为 A． p1 , p3 B． p1 , p4 C． p2 , p3 D． p2 , p4 2016 年 x, y 是实数，则 x ? yi = (1? i)x ? 1? yi ，其中 （2）设 B （A）1 （B） 2 （C） 3 （D）2 2015 年 1+z (1)设复数 z 满足 ? i ，则|z|= 1 ? z （A）1 （B） 2 （C） 3 （D）2 A 2014 年 (1 ? i)3 2. = (1 ? i)2 D A .1 ? i B .1 ? i C . ?1? i D . ?1? i 2013 年 2、若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i |，则 z 的虚部为 A、－4 4 （B） ? 5 （C）4 4（D） 5 D 2012 年 （3）下面是关于复数 z ? 2 的四个命题：其中的真命题为 ?1 ? i C p : z ? 2 p : z 2 ? 2i p : z 的共轭复数为 1 ? i p : z 的虚部为 ?1 ( A) 1 2 3 4 p2 , p3 (B) p1 , p2 (C) p2 , p4 (D) p3 , p4 2011 年 2 ? i (1)复数 的共轭复数是 1 ? 2i 3 3 （A） （B） i ? i 5 5 C （C） ?i （D）i A 2010 年

3

三、平面向量：

8 年 7 考，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其它知识交

汇，难度不大（与全国其它省份比较）．我认为这样有利于考查向量的基本运算，符合考试说明． 年份 题目 答案 （13）已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= ． 2017 年 2 3 2016 年 2015 年 m ? ? (13)设向量 a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则 ????? ?????（7）设 D 为 ?ABC 所在平面内一点， BC ? 3CD ，则 ????? 1 ????? 4 ????? （A） AD ? ?? AB ?? AC 3 3 ????? 4 ????? 1 ????? （C） AD ?? AB ?? AC 3 3 . -2 A 2014 年 ????? 1 ????? 4 ?????B） AD ?? AB ?? AC 3 3 ????? 4 ????? 1 ?????（D） AD ?? AB ?? AC 3 3 ????? ????? 1 ????? ????? 15.已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若 AO ?? ( AB ? AC) ，则 AB 与 900 2 ?????AC 的夹角为. 13、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0， ?? ?? ?? ??则t=_ _. ? ??? 13、已知向量 a, b 夹角为 45，且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ；则 b ? ? （10）已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为? ，有下列四个命题 2013 年 2012 年 2011 年 2 3 2 A ?0, 2? ? P : a ? b ? 1 ? ? ? ? 2? ,? ??P : a ? b ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 3 ??? 3 ?? ?? ?????0, ? ? P : a ? b ? 1 ? ? ? ? ? ,? ??P : a ? b ? 1 ? ? ? 3 ? 4 ? 3 ????? 3 ?? ?? ??其中的真命题是 （A） P1 , P4

（B） P1 , P3 （C） P2 , P3 （D） P2 , P4 四、线性规划：

8 年 7 考，全国卷线性规划题考的比较基本，一般不与其它知识结合，不象部分省区的高考 向量题侧重于与其它知识交汇，如和平面向量、基本不等式、解析几何等交汇．我觉得这种组 合式交汇意义不大，不利于考查基本功．由于线性规划的运算量相对较大，我觉得难度不宜太 大，不过为了避免很多同学解出交点代入的情况估计会加大“形’的考察力度，有可能通过目 标函数的最值作为条件反求可行域内的参数问题，或者利用一些含有几何意义的目标函数（斜 率、距离等）， 如 2015 年新课标 15 题．

（）

4

年份 2017 年 题目 答案 -5 ? x ? 2 y ? 1 ??（14）设 x, y 满足约束条件 ?2x ? y ? ?1 ，则 z ? 3x ? 2 y 的最小值为 ? ??x ? y ? 0 ． 2016 年 （16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产 216000 一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg，乙 材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润 之和的最大值为 元． 2015 年 ? x ?1 ? 0 ? y （15）若 x,y 满足约束条件 ??x ? y ? 0 则 的最大值为.? x ? y ? 4 ? 0 x ?? 3 2014 年 ? x ? y ? 1 9.不等式组 D .有下面四个命题： ? 的解集记为 x ? 2 y ? 4? p1 ：?(x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 ， p2 ： ?(x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P3 ： ?(x, y) ? D, x ? 2 y ? 3 ， p4 ： ?(x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1. 其中真命题是 A . p2 ， P3 B . p1 ， p4 C . p1 ， p2 D . p1 ， P3 C 2012 年 ? x, y ? 0 [?3, 3] ? (14) 设 x, y 满足约束条件： x ? y ? ?1 ；则 z ? x ? 2 y 的取值范 ??? x ? y ? 3 ??围为 2011 年 ?3 ? 2x ? y ? 9, （13）若变量 则 x, y 满足约束条件 z ? x ? 2 y 的最小???6 ? x ? y ? 9, -6 值为 ．

五、三角函数：

8 年 16 考，每年至少 1 题，当考 3 个小题时，当年就不再考三角大题了．题目难度较小， 主要考察公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于 “送分题”．小心平移（重点+难点+几乎年年考）．2013 年 15 题对化简要求较高，难度较大．2016 年的考法也是比较难的，所以当了压轴题．

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