全国Ⅰ卷理科数学高考分析及2018年高考预测：全国Ⅰ卷理科数学20(7)

2014 年 19. (本小题满分 12 分)如图三棱柱 ABC ? A B C 中，侧面 BB C C 为菱形，AB ? B C . 1 1 1 1 1 1 (Ⅰ) 证明： AC ? AB1 ； （Ⅱ）若 AC ? AB ， ?CBB ? 60o ，AB=BC 1 1 求二面角 A ? A1B1 ? C1 的余弦值. 解：(Ⅰ)连结 BC1 ，交 B1C 于 O，连结 AO．因 为侧面 BB1C1C 为菱形，所以 B1C ? BC1 ，且 O 为 B1C 与 BC1 的中点．又 AB ? B1C ， 所以 B1C ? 平面 ABO ，故 B1C ? AO 又 B1O ? CO ，故 AC ? AB1 ???6 分

31 （Ⅱ）因为 AC ? AB1 且 O 为 B1C 的中点，所以 AO=CO?BOA ? ?BOC ，故 OA⊥OB 又因为 AB=BC ，所以 ，从而 OA，OB，OB1 两两互相垂直． 以 O 为坐标原 点，OB 的方向为 x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz ．因 为 ?CBB ? 600 ，所以 ?CBB 为等边三角形．又 AB=BC1 1 ? ? 3 ? ? 3 ? 3 ??， B ?1, 0, 0? ， ，A 0, 0, B 0, , 0 C 0, ? , 0 1 ? ? ? ? ? ??3 3 3 ? ? ? ? ? ??????? ???? ????? ?? ????? ?? 3 ???? 3 ??3 ? ??????3 ??AB1 ? ? 0, , ? ? ， A1B1 ? AB ? ?1, 0, ? ? , B1C1 ? BC ? ? ?1, ? , 0 ??3 3 3 ??3 ???? ?? ?? ?? ? 3 3 ? ???? y ? z ? 0? ? ?n? AB1 ? 0 ? 3 3设 n ? ? x, y, z ? 是平面的法向量，则 ， ? ，即 ?? ???????? x ? 3 z ? 0 ?n? A1B1 ? 0 ?? 3 ?? ??????? ??? ??m? A1B1 ? 0 所以可取 ? n 1, 3, 3 设 m 是平面的法向量，则 ，同理可取 ? ?? ??????n?B1C1 ? 0 ???? ??? ? ??? ?1 1 n m m ? 1, ? 3, 3 ，则 cos n, m ? ? ??? ，所以二面角 A ? A B C ??1 1 ? 1 的余弦值为 . 7 n ? m 7 ，则 ? ? ?? 2013 年 18、（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明 AB⊥A1C; （Ⅱ）若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的 正弦值． 解:（Ⅰ）取AB中点E，连结CE， A1B ， A1E ， ∵AB= AA ， ?BAA = 600 ，∴ ?BAA 是正三角形， 1 1 1 ∴ A1E ⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵CE ? A1E =E，∴AB⊥面CEA1 ， ∴AB⊥ A1C ； ??6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 EC⊥AB， EA1 ⊥AB，

32

又∵面 ABC⊥面 ABB1 A1 ，面 ABC∩面 ABB1 A1 =AB，∴EC⊥面 ABB1 A1 ，∴EC⊥ EA1 ，∴EA，EC，EA1 两两相互垂直，以 E 为坐标原点，EA 的方向为 x 轴正方向，| EA |为单位长度，建立如图所示空间直角 坐标系O ? xyz ， 有题设知 A(1,0,0), A1 (0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B(－1,0,0),则 BC =（1,0， 3 ）, ???? ???? ?????BB1 = AA1 =(－1,0, 3 ), A1C =(0,－ 3 , 3 ), 设 n = (x, y, z) 是平面CBB1C1 的法向量， ????????n ? BC ? 0 ? x ? 3z ? 0 则 ，即 ，可取 n =（ 3 ，1，-1）， ????? ?? ?? ???n ? BB1 ? 0 ? x ? 3 y ? 0 ???? ????? n ? AC 10 1? ????? ∴ cos n, A C，1 = 5| n || AC | 1 ∴直线 A C BB C C 1 与平面 1 1 所成角的正弦值为 10 . 5 ??12 分 ??9 分 2012 年 （19）（本小题满分 12 分） 如 图 ， 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 ， 1 AC ? BC ? AA ， 12 D 是棱 AA1 的中点， DC1 ? BD （1）证明： DC1 ? BC （2）求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小． 解:（1）在 Rt?DAC 中，AD ? AC 得：?ADC ? 45?? 同理： ?A DC ? 45? ? ?CDC ? 90??1 1 1 得： DC1 ? DC, DC1 ? BD ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC （2） DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A1 ? BC ? AC

33

取 A1B1 的中点O ，过点O 作OH ? BD 于点 H ，连接C1O, C1H A1C1 ? B1C1 ? C1O ? A1B1 ，面 A1B1C1 ? 面 A1BD ? C1O ? 面 A1BD OH ? BD ? C1H ? BD 得：点 H 与点 D 重合 且 ?C1DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角 设 AC ? a ，则C O ?? 1 2a ，C D ?? 2a ? 2C O ? ?C DO ? 30??1 1 12 ??既二面角 A 1 ? BD ? C 1 的大小为30. 2011 年 (18)(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解：（Ⅰ）因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ?? 3AD 从而 BD2+AD2= AB2，故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD，可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD （Ⅱ）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建 立空间直角坐标系 D- xyz ，则 A?1, 0, 0? B 0，3, 0,C ?1, 3, 0, P ?0, 0,1? , ． ????? ????? ?????AB ? (?1, 3, 0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1, 0, 0) ?? ?? 设平面 PAB 的法向量为 n=（x,y,z），则

34

? ???????n? AB ? 0 ??? x ? 3 y ? 0 ,因 由 得 ? ? ? ???????n?PB ? 0 ?? 3 y ? z ? 0 此可取 n ? ( 3,1, 3) ???设平面 PBC 的法向量为 m ， ???? 3 ） ,所以 m ? （0，-1， 同理得 ?? ?? ?4 2 7 cos m, n ?? ? ??7 2 7 2 7 故二面角 A-PB-C 的余弦值为 ? .7 2010 年

35

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库全国Ⅰ卷理科数学高考分析及2018年高考预测：全国Ⅰ卷理科数学20(7)在线全文阅读。