浅谈SIR流行病模型的建立和发展(8)

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外文资料翻译及原文

寿命有限的Lotka-Mckendrick方程的近似求解

摘要：

我们考虑线性Lotka-Mckendrick方程，并详细讨论当死亡率无界时，如何解决通常的有限差分法的崩溃问题。通常的误差界需要一些死亡率在所有年龄的导数是有界的。我们的方法适用于模型类的死亡率，我们表明，并不是所有的方法都适用于任何死亡率函数。?2001爱思唯尔科技有限公司版权所有。 关键词：年龄结构;数值方法 1.简介

在过去15年中，许多确定性、微分、年龄结构人口模型的近似解的数值方法已在文献中被提出[1-7,9-20]。然而,很少有人注意到这种情况：当种群的所有个体有一个有限的寿命。实际上，考虑有限寿命导致更多的问题。事实上，所有收敛性的证明需要一些死亡率的导数是有界的—这个条件不符合有的年龄生存概率为0。

在本文中，我们考虑Lotka-McKendrick方程（见例[8]），并详细讨论如何证明不要求所有年龄段死亡率有界时有限差分方法的收敛。在下一节中，我们提出模型并给出的死亡率的“?(.)”的主要假设。在第3节中，我们讨论了

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一些模型的例子，说明它是如何处理与有限寿命有关的问题。最后，在第4节中，我们给出了一些数值模拟的结果，并在第5节中，我们总结了我们的研究结果。

2问题及模型的死亡率

让u(a,t)(a?[0,a?])代表时间t时，个体在一个封闭的种群中的年龄密度。这里a代表年龄，这样，0?a1?a2?a ,?u(a,t)da将代表时间t时年龄在a1和

a1a2a2之间的人数。如果我们让?(a)和?(a)，分别是特定年龄（非负）的死亡率和出生率，那么我们考虑解决以下的由Lotka和 McKendrick提出的线性初边值问题，

?u?u??μ(a)u?0 a,t?0, （2.1） ?t?a?B(t)?u(0,t)???(a)u(a,t)da,t?0, （2.2）

0u(a,0)?uo(a),a?0. （2.3）

非负可积函数u0是最初的年龄分布，希望已知，而函数B(t)是在t的时间总出生率。对于任何生物物种的函数?是紧支撑的，其支集称为生育窗口。这使得积分（2.2）确实是在有限区间，即生育窗口。微分方程（2.1）的积分因子是

a??(?)d??(a)?e?0a?[0,a?]， （2.4）

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代表生存概率，即从出生一直活到a岁的概率，其积分即预期寿命，例如，等于1/?，当死亡率并不依赖个体的年龄并且a????。由于这种概率在最大年龄a?要等于0，我们必须假设

?a?0?(?)d???. （2.5）

从（2.1）-（2.3）沿特征线a?a0?s,t?t0?s的积分容易看出

?(a)?u(a?t),a?t,?0?(a?t)（2.6） u(a,t)???B(t?a)?(a),t?a,?在这里我们使用（2.4）。

通过这一公式，问题(2.1)-(2.3)实际上是等价于下面的出生率B(t)的沃尔泰拉积分方程

B(t)???(s)?(s)B(t?s)ds???(s?t)00ta??(s?t)uo(s)ds.?(s)

我们注意到，虽然初始年龄密度

u0是连续的，

（2.1） - （2.3）的解u可

能不存在，除非(见 (2.6))满足下列条件

u0(0)???(s)u0(s)ds.

0a?

同样，如果下列的相容性条件成立，u将是沿特征线可微。

?(0)??(0)u0(0)???(a)[u0?(a)??(0)u0(0)]da.u00? （2.1）-（2.3）的数值解可以通过不同的方法近似，事实上必须兼顾式（2.1）

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和条件（2.2），使得可以采取许多不同的方法，包括基于积分方程（2.7）的方法。然而，在所有的方法中我们都需要粗略计算生存概率（2.4），因为它出现在两个公式（2.6）（2.7）中。此外，即使我们从离散（2.1）开始，我们看到，在我们的离散公式中，我们实际近似?(?)，因此，我们以处理?(?)的近似问题结束，通过以下方程的有限差分离散

??(a)???(a)?(a), (2.8)

?(0)?1.现在，前面的方程，虽然看似无害的，是有点奇异，因为由于条件（2.5），

?(?)在a?附近必须无界的，通常的方法不能被直接应用。我们的目的是说明通

常的差分方法可以用于处理（2.8），条件是?(?)有适当的性质。在这方面，我们将采取以下?的模型形式，这对在问题(2.1)-(2.3)的应用有重要意义。 （i）??Cn[0,a?)且在(a*,a?)上单调递增 （ii）?(a*)?sup{?(a)}

a?[0,a*]（iii）?(a)??(a??a)on(a*,a?) (H1)

（iv）Dk?(a)?C(k?0,...,n),

(a??a)k?1其中a*?(0,a?)，n是一个正整数，??n?1,C?0，Dk表示k阶导数。例如，下列特殊形式?(?)满足这些假设。

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