浅谈SIR流行病模型的建立和发展(5)

S1*?u1??1?1A1?*?；S2u2??2?2;

(u1?a1)(u1??1)I1*?A2?*I2??1u1??1?a2(u2??2)?2a1(u1??1);

(u2?a2)(u2??2)?2u2??2??1;

*(u2?e2)?1I1*?e2?2I2R?;

(u1?e1)(u2?e2)?e1e2*1*(u1?e1)?2I2?e1?1I1*R?.

(u1?e1)(u2?e2)?e1e2*2***定理3.4 若R0?1，则系统(3.2.1)正平衡点E*(S1*,S2,I1*,I2,R1*,R2)局部

渐近稳定。

证明 系统(3.2.1)的Jacobi矩阵为

???1I1*?(u1?a1)a2??1S1*000???**a??I?(u?a)0??S002222222??**???1I10?1I1?(u1?a1)000?M???**0?I0?I?(u?a)00?? 222222?00r10?(u1?e1)e2????000r2e1?(u2?e2)???由圆盘定理可知，特征根的实部均负。根据稳定性理论可知E局部渐近稳定。

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4、SARS的SIR模型

4.1 SARS问题的重述与分析

2003 年上半年，SARS 开始大面积的在中国大陆传播。SARS 的爆发和蔓延给我们的国家、社会和人们的生活带来了巨大的影响。SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。通过研究我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

医学科学的发展已经能够有效的预防和控制许多传染病，但是对于一些新出现的传染病的研究，由于人们不可能通过去做传染病传播的试验以获取数据，所有有关传染病的数据，资料只能从医疗卫生部门已有的传染病报告中获取。但是由于得到的资料也是不完全和不充分的，难以根据这些数据来准确的确定某些参数，只能大概估计其范围。基于上述原因，依据机理分析的方法建立数学模型和计算机仿真便成为研究传染病流行过程的有效途径之一。 4.2 模型假设

1.世界卫生组织提供的SARS疫情统计数据资料真实可信。 2.将SARS所有可能的传播途径都视为与病源的直接接触。

3.在SARS传播期内所考察的地区的总人数N视为常数，即认为本地区流入的人口与流入的人口数相等，时间以天为计量单位。

4.根据医学调查资料显示，SARS康复者尚未复发情况，因为对于一个SARS康复者，他势必会更注重自己的个人卫生习惯并主动远离SARS传染源;从社会心理学的角度来看，其身边的人会主动远离他。因此，可以假设一个SARS康

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复者二度感染SARS的概率为0，这些人既不是健康者，也不是病人，他们已经退出传染系统。

5.不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率。 4.3 模型的建立

这个模型近似于经典的S-I-R模型。S(susceptible)是易感人群，I(Infected)是感染人群，R(Recovered)是已经康复的人群。感染人群有一定几率传染易感人群，使其转变成为感染人群。而感染人群也可能得到治愈成为已康复的人群。感染的强度和恢复天数的长短可以由参数控制。 总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为I(t),S(t),R(t)。

?—日接触率； L—确诊病人治愈率； D—确诊病人死亡率；

病人、健康人和移出者比例之和为：S(t)?I(t)?R(t)?1 根据以上假设，经分析得到如下的SARS传播微分方程:

?dI?dt??SI?(L?D)I??dS???SI? ?dt?dR?(L?D)I??dt??I(0)?I0,S(0)?S04.4模型的求解及仿真

鉴于每个地区的情况(医疗卫生水平，经济发展情况，人口密度等)不同，

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所以对于模型中各参数不能用同一个参数值来分析，而应该各个城市分别对待。在这里，我们应用香港疫情统计数据对模型进行仿真。选取2003年4月10日到2003年6月18日的数据进行计算，设定4月10日为时间零点，则4月11日为第一天，依次类推。 4.4.1模型参数的确定

(1) L—确诊病人治愈率:

L的值主要取决于治疗手段和医疗设施等因素，其计算公式为: L=

每天新增的康复患者的人数

当天累计的病人人数 应用香港地区疫情统计数据，对L的变化趋势进行考察，实际计算结果和其拟合结果如图4.1所示。 (2) D—确诊病人死亡率

D的值与L的值一样，主要也是取决于医疗手段和医疗设施等因素，其计算公式为: L=

每天新增的因病死亡人数

当天累计的病人人数 应用香港地区疫情统计数据，对D的变化趋势进行考察，实际计算结果和其拟合结果如图4.2所示。

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确诊病人的治愈率

SARS传播的时间（天）

图 4.1 确诊病人的治愈率（平滑曲线为拟合曲线）

SARS传播的时间（天）

图 4.2 确诊病人的死亡率（平滑曲线为拟合曲线）

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确诊病人的死亡率

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