浅谈SIR流行病模型的建立和发展(4)

*系统(3.2.1)有无病平衡点E0(S1*,S2,0,0,0,0)，其中：

S1*?a2A2?a2A1?u2A1aA?aA?uA*?111212 ，S2u1u2?u2a1?a2u1u1u2?u2a1?a2u1

由再生矩阵可知

*??1S1*?2S2?R0??(FV)?max?,?u??u???1122?

?1其中：

??1S1*F???0?1?u??0??1?11V?，?*??2S2??0???? 1?u2??2??0本文将主要研究无病平衡点的全局稳定性、正平衡点的局部稳定性和传染病的持续问题。

主要结果:

首先讨论系统(3.2.1)无病平衡点的全局稳定性。

定理3.1 若R0?1，则系统(3.2.1)的无病平衡点E0全局稳定。 证明 系统(3.2.1)中前4个方程中不含R，故只考虑前4个方程所构成的系统

?S1??A1?(u1?a1)S1??1S1I1?a2S2?S??A?(u?a)S??SI?aS?2222222211??I1???1S1I1?(u1??1)I1 (3.2.2) ????2S2I2?(u2??2)I2?I214

系统（2.1）的Jacobi矩阵为

??(u1?a1)?a2??1S1*0??*a?(u?a)0??S12222?M????00?1S1*?(u1??1)0 ??*?000?2S2?(u2??2)???计算可得，M特征值的实部均负，所以E0局部渐近稳定。 设(S1(t),S2(t),I1(t),I2(t))为系统(3.2.2)的任一非负解，则

?S1??A1?(u1?a1)S1?a2S2???A2?(u2?a2)S2?a1S1 ?S2建立辅助系统

??A1?(u1?a1)x1?a2x2?x1 (3.2.3) ???x2?A2?(u2?a2)x2?a1x1*(S1*,S2)是平衡点，易证它是全局稳定的。故当t??时，有

?I1???1(S1??)I1?(u1??1)I1?*???2(S2??)I2?(u2??2)I2 ?I2由R0?1可知，当t??时，Ii(t)?0(i?1,2)。因此，E0全局稳定。 现在分析人口流动对传染病传播的影响。首先考虑两个斑块孤立时，系统（1.1）分成了两个子系统：

?S1??A1??1S1I1?u1?(3.2.4)?I1???1S1I1?(u1??1)I1?R???I?uR ?1111115

??A2??2S2I2?u2?S2????2S2I2?(u2??2)I2(3.2.5)?I2?R???I?uR

2222?2?A1?显然，系统(3.2.4)和(3.2.5)的无病平衡点分别是E01?,0,0?，

?u1??A??1A1?2A2E02?2,0,0?；基本再生数分别为R01?，R02?。令

(u1??1)u1(u2??2)u2?u2?ilN1?N1?S1?I1?R，则m1N2?S2?I2?R2，

t??A1AlimN2?2。，易证：若R01?1t??u1u2时，则E01全局稳定；若R02?1时，则E02全局稳定。

下面考虑人口在两个斑块间流动的情形。

定理3.2 当R01?1，R02?1时，则疾病在系统(3.2.1)的一个斑块中流行，在另外一个斑块中消失；或者疾病在系统(3.2.1)的两个斑块中都消失。

证明 先证

?a2A2?a2A1?u2A1??1uu?ua?au?u1??1?122121(3.2.6)???a1A1?a1A2?u1A2?u?? 222??u1u2?u2a1?a2u1不成立。事实上，如果式(3.2.6)成立，则有

?u2(?1A1?(u1??1)u1)?u2a1(u1??1)?a2(?1A2??1A1?u1(u1??1))?0(3.2.7)??u1(?2A2?(u2??2)u2)?u1a2(u2??2)?a1(?2A1??2A2?u2(u2??2))?0

令式(3.2.1)中第2个不等式左边为L(?0)，则有

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L?(?2A1??2A2?u2(u2??2))(u2(?1A1?u1(u1??1))?a2(A2?1??1A1?u1(u1??1)))?u2(u1??1)[?2(u1(u1??1)??1A1)??1(u2(u2??2)??2A2)]?0u2(u1??1)u1(?2A2?(u2??2)u2)?u1a2(u2??2)?

*?1S1*?u1??1，?2S2?u2??2这显然矛盾。所以，当R01?1，R02?1时，有如下3种情形成立：

(3.2.8)

(3.2.9)

*?1S1*?u1??1，?2S2?u2??2

*(3.2.10) ?1S1*?u1??1，?2S2?u2??2

不失一般性，这里只考虑式(3.2.8)成立。由式(3.2.8)的第2个不等式可

**??I2(?2(S2知，?2(S2??)?(u2??2))，故??)?u2??2。当??0充分小时，I2当t??时，I2?0。因此，疾病在第2个斑块上消失。设

S1*(?1)?a2(A2??1)?a2(A1??1)?u2(A1??1)

u1u2?u2a1?a2u1a1(A1??1)?a1(A2??1)?u1(A2??1)

u2u1?u2a1?a2u1，由式(3.2.8)的第1个不等式可知??0。当?1?0*S2(?1)?令???1S1*?(u1??1)2*时，有S1*(?1)?S1*。选取?1?0，使得?1(S1(?1)??1)?(u1??1))??。取?1?0，

使得I1??1，I2??1，则

?S1??A1??1?(u1?a1)S1?a2S2 ??S?A???(u?a)S?aS?2222221117

现证明I1(t)??1不成立（当t充分大）。在S1(t)?S1*(?1)??1，t??时，

??I1(?1(S1*??1)?(u1??1))??I1，即I1(t)??。矛盾。假设(x1(t),x2(t))是下有I1列系统的解

??A1??1?(u1?a1)x1?a2x2?x1???A2??2?(u2?a2)x2?a1x1 ?x2?x(0)?0,i?1,2?i则存在T?0，使得t?T，x1(t)?S1*(?1)??1。

设?0??1e?(u1??1)。事实上，如果I1??1，则定理结论成立。反之，存在t1，

Tt2，使得I(t1)?I(t2)??1。且I(t1)??1，显然，当t1?t?t1?Tt?[t1,t2]。I(t1)??0，

*时。由比较定理，S1(t)?x(t)?S1(?1)??1。由t1，t2的任意性可知，当t充分

大时，I1(t)??0。故疾病在第1斑块持续。同理可证，式(3.2.9)成立时，疾病在第1斑块消失，在第2斑块中流行；式(3.2.10)成立时，疾病在两个斑块中消失。

根据定理3.2的证明可以得到如下推论： 推论3.1 若

?a2A2?a2A1?u2A1??1uu?ua?au?u1??1?122121 ?aA?aA?uA??111212?u??222?uu?ua?au?122121则疾病在系统(3.2.1)两个斑块中流行。

***当R0?1时，系统(3.2.1)存在正平衡点E*(S1*,S2,I1*,I2,R1*,R2)，其中：

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