浅谈SIR流行病模型的建立和发展

浅谈SIR流行病模型的建立和发展

摘要：

应用传染病动力学模型可描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供决策依据。本文介绍传染病动力学的最基本模型――SIR模型。探讨SIR模型的发展进程和研究动向,并用SIR模型对SARS的传播进行模拟。

关键词：传染病；动力学模型；SIR模型 Abstract:

The dynamics models of infectious diseases can be used to describe the spread characters of infectious diseases, predict the status of the infection and evaluate the efficacy of control strategies, which are useful tools in diseases control decision making. A brief introduction to the basic dynamics model SIR was made。Discusses the development of SIR models process and the trend ,and by using SIR model to simulate the propagation of SARS.

Key words: epidemic; dynamic model; SIR model

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目录

1、绪论………………………………………………………………………………1 1.1 流行病对社会的影响????????……???????…???1 1.2流行病模型的研究概况……………………………………………………2 2、SIR流行病模型的建立…………………………………………………………4 2.1 SIR流行病模型的简介……………………………………………………4 2.2 SIR流行病模型的建立……………………………………………………4 3、不同条件下的SIR流行病模型………………………………………………10 3.1具有年龄结构的SIR流行病模型…………………………………………10 3.2具有人口流动的SIR流行病模型…………………………………………13 4、SARS的SIR模型………………………………………………………………20 4.1 SARS问题的重述与分析…………………………………………………20 4.2 模型假设…………………………………………………………………20 4.3 模型的建立………………………………………………………………21 4.4 模型的求解及仿真………………………………………………………22 4.4.1 模型参数的确定……………………………………………………22 4.4.2 模型求解……………………………………………………………24 4.4.3 仿真结果结论………………………………………………………25 致谢………………………………………………………………………………27 主要参考文献……………………………………………………………………27 附录………………………………………………………………………………27 外文资料翻译及原文……………………………………………………………35

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1、绪论

1.1流行病对社会的影响

疾病历来是人类健康的大敌，基本上每一个时代，每一个国家，都会受到疾病的侵蚀，从而对人类的发展产生重大的影响。

公元二世纪，瘟疫在罗马帝国的流行，引起了人口的急剧下降和经济恶化，加速了外族的入侵，导致了罗马帝国的崩溃。

公元六世纪，鼠疫首次大流行发生于于埃及的西奈半岛，波及到欧洲所有国家，死亡近二千五百万人；第二次发生于十四世纪，起源于美索不达米亚，仅欧洲就死亡二千五百万人，即历史上著名的黑死病；第三次发生于十九世纪末至二十世纪初，死亡一千二百万人。

公元十六世纪到十八世纪，每年死于天花的人数，欧洲约为50万人，亚洲约为80万人，而整个18世纪欧洲人死于天花的总数，则约在1.5亿人以上。18世纪，天花到达世界上最后一个尚未被它蹂躏的澳大利亚，杀死了50％的澳洲原住民。19世纪至20世纪初，天花依然横行无忌；这种状况一直持续到20世纪下半叶。

自1817年以来，霍乱至少爆发过10次之多，影响遍布世界各地，直至今日，海地等地区依然遭受着霍乱的侵蚀，截至2012年1月，已造成7000人死亡，52万人感染，平均每天新增200名患者。

可见，传染病的流行给人类生存和国计民生带来巨大的灾难。

随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、

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不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。

传染病和新出现的疫病严重危害人类健康与社会经济发展。对传染病发病机 理、传播规律和防治策略研究的重要性日益突出。目前，对传染病的研究方法主要有描述性研究、分析性研究、实验性研究和理论性研究。不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。

传染病动力学是对传染病的流行规律进行理论性定量研究的一种重要方法.它是根据种群生长的特性,疾病发生和在种群内传播的规律以及与之有关的社会等因素,建立能反映传染病动力学特性的数学模型,通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟,来显示疾病的发展过程,揭示其流行规律,预测其变化发展趋势,分析疾病流行的原因和关键因素,寻求对其预防和控制的最优策略,为人们防治决策提供理论基础和数量依据.与传统的生物统计学方法相比,动力学方法能更好的从疾病的传播机理方面来反映流行规律,能使人们了解流行过程中的一些全局性态。传染病动力学与生物统计学以及计算机仿真的相互结合、相辅相成,能使人们对疾病流行规律的认识更加深入、全面,能使所建立的理论与防治策略更加可靠和符合实际。 1.2流行病模型的研究概况

流行病模型的研究及发展的时间并不算很长。虽然早在1760年，D．Bernoulli就曾用数学方法研究过天花的传播，但确切的说传染病模型的研究应该说是始于20世纪。

1906年，Hamer为了理解麻疹的反复流行，构造并分析了一个离散时间模型。1911年，公共卫生医生Ross博士利用微分方程模型对疟疾在蚊子与人群间

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传播的动态行为进行了研究。1926年，Kermack和McKendrick为了研究1665—1666年黑死病在伦敦的流行规律以及1906年瘟疫在孟买的流行规律，构造了著名的SIR（Susceptible-Infective-Recovered）仓室模型之后，又在1932年提出了SIR（Susceptible-Infective-Susceptible）仓室模型，并在分析所建立模型的基础上，提出了区分疾病流行与否的“阈值理论”，为传染病动力学的研究奠定了基础。

近20年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题。从传染病的传播机理看，这些模型涉及接触传播、垂直传播、虫媒传播等不同感染方式，是否考虑疾病的潜伏期，对病人的隔离，因病或因接种而获得的免疫力以及免疫力的逐渐丧失，是否可以忽略因病死亡率、种群自身的增长规律等因素。对模型的理论研究主要集中在疾病的持续生存，平衡位置特别是导致地方病平衡点的平衡位置和周期解的存在性和稳定性，再生数以及分歧点的寻找等动力学性态。早期的传染病模型大多假设种群为常数或者渐近常数，在某些条件下是合理的。但在实际问题中，不论动物还是植物的数量总是随着外界的扰动而波动，因此需要研究总人口具有种群动力学的流行病模型。常见的种群动力学行为是对易感者仓室的常数输入，种群的指数增长，Logistic型增长等。

关于传染病模型研究目前已取得许多成果，研究有各种类型，所用方法有构造Liapunov函数法，极限方程理论，矩阵理论，分支理论，K序单调系统理论，中心流形理论等。

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