浅谈SIR流行病模型的建立和发展(2)

2、SIR流行病模型的建立

2.1 SIR流行病模型的简介

大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人即非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他们已经退出传染系统。SIR仓室模型就是针对这一类传染病将该地区的人群分成以下三类（即三个仓室）：易感者（Susceptible）类，染病者（Infective）类，移出者（Recovered）类。SIR模型是比较简单粗糙的模型，这个模型得到了历史上发生过的大规模的传染病，如上个世纪初在印度孟买发生的瘟疫数据的有力支持。后来很多研究人员对SIR模型做了推广。 2.2 SIR流行病模型的建立

所谓SIR仓室模型就是针对某类传染病将该地区的人群分成以下三类（即三个仓室）：

易感者（susceptible）类：记为S(t),表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数.

染病者（infective）类：其数量记为I(t),表示t时刻已被感染成病人而且具有传染力的人数.

移出者（Recovered）类：其数量记为R(t),表示t时刻已从染病者类移出的人数.

设总人口为N?t?,则有N?t??S?t??I?t??R?t?.K-M的SIR模型是一个十分简单粗糙的模型.它的建立基于以下三个基本假设：

（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素.这意味着考虑一个封闭环境而且假定疾病随时间的变化要比出生、死亡随时间变化显著得多,从

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而后者可以忽略不计.这样,此环境的总人口始终保持为一个常数,即

N?t??K,或

S?t??I?t??R?t??K.

（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力，这里假设t时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数S?t?成正比,比例系数为?，从而在t时刻单位时间内被所有病人传染的人数（即新病人数）为?S(t)I(t)。

（3）t时刻，单位时间内从染病者类移出的人数与病人数量成正比，比例系数为?,从而单位时间内移出者的数量为?I(t)。显然,?是单位时间内移出者在病人中所占的比例，称为移出率系数，当不致混淆时也简称为移出率.当移出者中仅包括康复者时，移出率系数又称为恢复率系数或简称为恢复率。

在以上三个基本假设下,易感者从患病到移出的过程可用下述框图描述。

S?I?R?SI?I

对每一个仓室的人口变化率建立平衡方程式,便得到以下模型：

?dS?dt???SI,??dI ???SI??I,dt??dR?dt??I. ? (2.2.1)

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下面,我们通过对模型（2.2.1）的分析和解的渐近性态研究来初步显示动力学模型对认识传染病流行规律所起的作用。

将（2.2.1）中三个方程两端分别相加，得

d?S?I?R??0，

dt从而

S?t??I?t??R?t??K（常数）

由于（2.2.1）中前两个方程中不含R,故实际上我们只需先讨论前两个方程：

?dS???SI??dt （2.2.2） ??dI?I??S???? ?dt由于

dS?0,S(t)单调递减且有下界（为0）,故极限 dtlimS?t??S?

t??存在.由（2.2.2）有

dI????1?, ??. (2.2.3)

S? dS可见，当S??时,I达到极大值。从而不难在相平面?S,I?上画出系统（2.2.2）的轨线分布图，如图2.1所示.方程（2.2.3）的所有平衡点都在S轴上，而且

I?0为系统（2.2.2）的一条奇线。由图2.1可见,当初始时刻易感者数量

S?0??S0??时,随着时间增长,染病者数I?t?将先增加达到最大值I???，然

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后再逐渐减少而最终消亡。这一现象表明,只要S0??,即S0?流行。

I

0 ?

图2.1 令

R0??1S0?S01??1,疾病就会

S

??, (2.2.4)

则当R0?1时,疾病流行;当R0?1时，疾病不会流行，染病者数量I?t?将单调下降而趋向于零.R0?1是区分疾病流行与否的阈值。

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1应当指出，（2.2.4）中的表示平均移出时间，也就是平均患病期。事实

?上，由移出率系数?的定义可见，若病人数量为n，则单位时间内移出者的数

1目为?n，故经过时间,病人全部移出。

?要防止疾病流行，必须减少R0使它小于1，有表达式（2.2.4）可知，这

1可以通过加强治疗以缩短染病期或采取杀菌等措施以减少疾病的传染力?，

?或通过隔离措施以减少与患病者可能接触的人数即这里的易感者数S0来实现。更为有效的方法是通过疫苗接种以使易感者成为免疫者而直接进入移出者类R,从而减少初始时刻易感者数量S0。设人群中通过接种疫苗成功的比例为

p?0?p?1?,则S0就变成了?1?p?S0,从而R0变小为

R0???1??1?p?S0.

要求R0?1,即要求

p?1??

?1?1?. (2.2.5) ?S0R0由（2.2.5）式可知，R0越大,为防止疾病流行所需要接种的人口比例p就越高。

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