浅谈SIR流行病模型的建立和发展(3)

由此可见,对R0值的估计是十分重要的。由（2.2.4）式可见,要估计R0的值，难点在于估计?，因为?不仅取决于疾病的种类，而且还依赖于人群所处的社会环境和病人的活动情况。下面介绍一种对R0的近似估计法。

求解方程（2.2.3）,它通过初值?S0,I0?的解为

I?I0???S?S0???lnS, （2.2.6） S0

由于当t???时，I?t??0,S?t??S?，代入(1.1.6)式并注意到

S0?I0?K，得

S?K?S???ln?0.（2.2.7）

S0

用数学分析的方法容易验证方程（2.2.7）有且仅有惟一的正实根S?。并可解得

K?S?? ???,?lnS0?lnS? （2.2.8）

从而可根据（2.2.8）S0与S?是可以测定的,例如可以通过血清检查测定。式确定?的值，然后由R0?（2.2.8）式估算出?。

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S0?来确定R0。在测得平均患病期

1后,也可由?3、考虑不同条件的SIR流行病模型

3.1具有年龄结构的SIR流行病模型

2009是不寻常的一年，这是因为在夏季流感症状患者数量激增，原因在于新型流感H1N1的爆发，以及民众的恐慌。对于在校生这个群体而言，流感病案例显著增加。通常流感在学校环境中传播速率高，但是H1N1的恐慌在2009年夏季是导致流感患者激增的关键因素。H1N1的患者具有明显的年龄结构，流感症状患者在5-24岁之间是占主导地位的，这是新型流感的一个显著特点。传播看起来在不同的年龄组间是同比例的，尽管有许多报告的案例发生在5-24岁年龄组。这一年在0-4岁之间被报告的案例几乎和25-64岁间被报告的案例的数量是一样的，这可以理解为父母群体和婴儿群体紧密相关。最后这些被报告的案例对于65岁以上的人在这一年中显示的是不变的。

为建立一种流感的动态模型，一种间隔的易受感染的、传染的、康复的模型（SIR模型）经常被采用。人群可以进一步被分为4组，相应分为4个年龄组：0-4岁、5-24岁、25-64岁以及65岁年龄阶段的人群。给每个年龄阶段三个公式，分别对应SIR模型中的易受感染的（S）、传染的（I）、康复的（R）。除此之外，四组公式将因四个不同的年龄组而存在。就眼前来看，刚出生的和死亡的人群将被忽略。总而言之，离散的SIR模型对于不变的人群来说用一下不同的公式来建立模型是足够的。

S(n)?S(n?1)???I(n?1)S(n?1)(3.1.1)

意味着变化通过一些传染速率Beta对于易受感染的人和传染的人是成比例的。?是依赖于时间的或者它自己与其他的因素成比例的。为简便起见，我们假定?是常数。受感染的人数将被移动到受感染组。n是时间，单位是天数。

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I(n)?I(n?1)??I(n?1)S(n?1)??I(n?1)(3.1.2)

再次，传染速率Beta是时间的函数，受学期和季节的影响。除此而外，从感染的人群中康复的人的数量将被移动到康复组，速率是?。

R(n)?R(n?1)??I(n?1)(3.1.3)

本着简便的目的，我们认为这是康复人群的数量（包含在案例中受免疫的人）。我们假定那些受感染的人不能再次受到感染。这是很明显的因为这个公式只含有一项。

N?S(n)?I(n)?R(n) 在这个模型中，假定人群封闭。

(3.1.4)

对于年龄结构常微分模，同样的公式组将被应用。例如，让我们考虑(3.1.5)的年龄结构模型：

?dS1?dt???11S1I1??21S1I2??31S1I3??41S1I4??dI1??11S1I1??21S1I2??31S1I3??41S1I4??I1(3.1.5)?dt? ?dR1?dt??I1?同样的规则用于(3.1.6)、(3.1.7)、(3.1.8)，除了它们对传播和康复可能拥有不同的数量：

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?dS2?dt???12S2I1??22S2I2??32S2I3??42S2I4??dI2??12S2I1??22S2I2??32S2I3??42S2I4??I2(3.1.6)??dt ?dR2?dt??I2??dS3?dt???13S3I1??23S3I2??33S3I3??43S3I4??dI3??13S3I1??23S3I2??33S3I3??43S3I4??I3(3.1.7)?dt? ?dR3?dt??I3??dS4?dt???14S4I1??24S4I2??34S4I3??44S4I4??dI4??14S4I1??24S4I2??34S4I3??44S4I4??I4(3.1.8)?dt? ?dR4?dt??I4?总而言之，这个模型对于易受感染的、被感染的和康复的将拥有一些原始的数据。可以进行一次仿真来决定在n次循环之后对人群将发生怎么样的事情。这个模型考虑到诸如此类的因素，比如在不同年龄组间的传播、在孩子中或者老年人中有流感的案例也被使用到。为简便起见、系数再次假定为常数，但是事实上会随着工作日、学期、假期和其他许多情况而变化。不幸的是，这是一个非线性模型并且解决方法甚至是不存在的。但是数值模拟仍然是很有用处的。

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显然，SIR模型的连续形式对于以下形式有解决方法：

lnS(t)?R0(S(t)?1)

当时间t趋于无穷，其中R0是流感的基本增值比率定义，它等于3.2具有人口流动的SIR流行病模型

?。 ?传染病是当今世界人类面临的重大问题之一，尤其是随着交通的进步，传染病入侵人类的概率明显增强。在2003年的几个月内，SARS就借助交通工具传播到30多个国家和地区，近万人受感染。除此之外，还有其他的传染病，如禽流感、霍乱等也不断攻击着人类，特别是近几年流行的甲型H1N1流感。以下忽略传染病在路途中的传播，采用Cook给出的第3种出生函数，简历如下两个斑块的SIR模型：

?S1??A1?(u1?a1)S1??1S1I1?a2S2?S??A?(u?a)S??SI?aS222222211?2??I1???1S1I1?(u1??1)I1????2S2I2?(u2??2)I2?I2 (3.2.1) ?R1???1I1?(u1?e1)R1?e2R2????2I2?(u2?e2)R2?e1R1??R2其中：对i?1,2,Si,Ii,Ri分别表示第i斑块易感者、染病者、恢复者的数量；Ri具有永久免疫；Ai，ui分别表示第i斑块人口出生率和死亡率；?i表示第i斑

ei表示斑块间的人口流动率。Ai，?i是第i斑块人口恢复率；ai，块上的传染率；

ui，?i，?i，ai，ei是非负常数。

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