张镇军圆锥曲线方程(5)

将（1）代入上式，得?ca2aa(a?2)?1，

解得c?a?2?2(a?2)．

（Ⅱ）因为D(a?2，2(a?2))，所以直线CD的斜率为

kCD?2(a?2)?2(a?2)?2(a?2)??1．

a?2?ca?2?(a?2?2(a?2))所以直线CD的斜率为定值．

21

?2(a?2)练习一： (B,C,A,D,A) 1．已知椭圆

xa22?yb22?1 (a?b?0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦

点，则线段MF1的中点P的轨迹是（ ）．

（A）圆 （B）椭圆 （C）线段 （D）一段抛物线 2．动圆M过定点A（3，0），且截y轴所得弦长为2，则动圆圆心M的轨迹是（ ）

（A）椭圆 （B）双曲线的一支 （C）抛物线 （D）抛物线的一部分

3．已知动点P到直线x?5的距离和它到点A(1, 0)的距离之比为5，则点P的轨迹方程是（ ）

（A）x25?y24?1 （B）

x24?y25?1 （C）x25?y24?1 （D）x24?y25?1

4．当m变化时，抛物线y2－4x－4my=0的顶点M的轨迹方程是（ ） （A）x2?4y （B）x2??4y （C）y2?4x （D）y2??4x 5．已知点A（-1，0），B（1，0），C、D为圆x2?y2?1上不同两点，且CD⊥x轴，则直线AC和BD的交点M的轨迹方程是（ ）

（A）x2?y2?1 (y?0) （B）x2?y2?1 (y?0) （C）x2?y2?1 (y?0) （D）y2?x2?1 (x?0) ⒍过椭圆

x236?y29?1的左顶点A1作任意弦A1E并延长到F，使

|EF|?|AE，|A21为椭圆另一顶点，连结OF交A2E于点P，求动点P的轨迹方

程．（转移法） （第六题图） （第八题图）

⒎已知抛物线y2?2x，过点Q(2, 1)作一条直线交抛物线于A、B两点，试求弦AB的中点轨迹方程，并指出它是什么曲线？（消参法）

22

⒏已知A1、A2是椭圆

xa22?yb22?1的长轴端点，P、Q是椭圆上关于长轴A1A2对称的两点，求直线PA1和QA2的交点M的轨迹．（交轨法）

⒐已知：F是定点，l是定直线，点F到直线l的距离为p，点M在直线l

上滑动，动点N在MF的延长线上，且满足：|FN| /|MN|=1/|MF|，求动点N的轨迹．

⒑过抛物线y2=2px（P＞0）的顶点，作两条互相垂直的弦OA、OB，①求弦AB中点的轨迹。②过原点O作OC⊥AB，C点的轨迹． （消参法）

⒒在面积为1的三角形PMN中，tgM=1/2，tgN=2，求以M、N为焦点，且过P点的椭圆方程。（4x2/5+y2=1）（待定系数法）

22

⒓P是椭圆x/4+y=1上的动点，PR⊥x轴于R点，延长RP到Q点，使EP/QP=-2，求Q 点的轨迹方程．（x2/4+4y2/9=1）（转移法）

⒔已知⊙O的方程为（x－1）2+y2=25；定点A（-1，0），C（1，0）；圆上任意一点Q与C的连线的垂直平分线交线段AQ于M点，求点的轨迹方程．（定义法）

2

⒕ 已知：M是抛物线y=x上一点，以|OM|为边，按逆时针方向作正方形OMPQ，

2

求Q点轨迹方程．（y=±x）

2

⒖半圆C：x+y2=2x（y＞0）交x轴正向于B点；过原点作弦OP延长到A

22

点，使|PA|=|PB|，求点A的轨迹方程．（x+y-2x-2y=0）

⒗如下图。直线l1、l2交于M点，l1⊥l2，N ∈l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离都相等；若△AMN为锐角三角形，|AM|=

17，|AN|=3，|BN|=6。

求曲线段C的方程．（坐标法、待定系数法）

答案：y2=8x（1≤x≤4，y＞0）或y2=8（x-2）（3≤x≤6，y＞0）

⒘ A、B是椭圆x2/4+y2=1的长轴上的两个端点，P是椭圆上异于A、B的动点，直线l1过A点垂直于AP，直线l2过B点垂直于BP，求l1 、l2的交点Q的轨迹方程．

答案：x2/4+y2/16=1

⒙过抛物线y2=2px（P＞0）的顶点，作两条互相垂直的弦OA、OB，①求弦AB中点的轨迹。②过原点O作OC⊥AB，C点的轨迹．

⒚已知：A是X轴上一定点；过A点的直线l与椭圆x2+2y=12相切，若l斜率为1，求l方程及A点坐标．

答案：y=x±32；A（±32，0）

练习题二：

⑴ 已知：两个同心圆的半径分别为5和4，AB 为小圆的定直径。求以大圆的切线为准线，且过A、B点的抛物线焦点的轨迹方程。

⑵ 在面积为1的三角形PMN中，tgM=1/2，tgN=2，求以M、N为焦点，且过

23

P点的椭圆方程。（4x2/15+y2/3=1）

⑶ 已知：F是定点，l是定直线，点F到直线l的距离为p，点M在直线l上滑动，动点N在MF的延长线上，且满足：|FN| /|MN|=1/|MF|，求动点N的轨迹．

⑷ 已知⊙O的方程为x2+y2=25；定点A（-1，0），C（1，0）；圆上任意一点Q与C的连线的垂直平分线交线段AQ于M点，求点的轨迹方程．

⑸ 已知：M是抛物线y=x2上一点，以|OM|为边，按逆时针方向作正方形OMPQ，求Q点轨迹方程．（y2=±x）

⑹ 半圆C：x2+y2=2x（y＞0）交x轴正向于B点；过原点作弦OP延长到A点，使|PA|=|PB|，求点A的轨迹方程．（x2+y2-2x-2y=0）

22

⑺ P是椭圆x/4+y=1上的动点，PR⊥x轴于R点，延长RP到Q点，使EP/QP=-2，求Q 点的轨迹方程．（x2/4+4y2/9=1）

2

⑻ 求抛物线y=x上，长度为3的弦的中点的轨迹方程． ⑼ 过点A（-2，4），作倾斜角为1350的直线l，交抛物线C：y2=2px（P＞0）于P1、P2，若|AP1|、| P1P2|、|AP2|成等比数列，求抛物线C的方程．（P=1）

⑽ 斜率为

3/5的直线交双曲线

C：x-y/3=1于A、B点，且过C的右焦点，

22

求|AB|． （4）

⑾ 正方形ABCD的AB边在直线y=x+4上，另一边CD在抛物线y2=x上，求正方形的面积。

⑿ 椭圆被斜率为3的直线所截，求截得的弦的中点轨迹。（y+x=0）

220

⒀ 过双曲线C： x/9-y/16=1的右焦点F，作倾斜角为45的直线，交双曲线于A、B两点，求AB的中点到F的距离。（802/7）

⒁ 已知：l1、l2是过（-2，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y 2- x 2=1各有两个公共点，分别为A1、B1和A2、B2。①求l1的斜率的范围。②若|A1B1|= 5|A2B2|，求l1、l2的方程。|k1|∈（

3/3，3）且|k1|≠1；|k1|=

2。

⒂ 过（0，1）点直线，与抛物线x2=-4y交于A、B两点，求线段AB的中点

2

轨迹。x=-2（y-1），x∈（-1，1）

⒃ 过点P（a，1）的直线l，交双曲线C：x2-y2/2=1于A、B点，若P点是AB的中点，求a的范围。

|a|＞

6/2，|a|＜

2/2（提示：△＞0及中点坐标公式）

⒄已知：A是x正半轴上一个定点，过A点斜率为1的直线，被椭圆x2+2y2=12截得的弦长为414/3，求l的方程及A点坐标．

答案：y=x-2；A（2，0）

练习三

例题1. 设O为抛物线的顶点，F是焦点，直线PQ过焦点F，与抛物线交于P、Q两点，|OF|=a，|PQ|=b，求三角形POQ的面积．

简解：设直线PQ的倾斜角为α．

24

由焦点弦的弦长公式，求得：sinα= 再由三角形POQ面积S=|PQ2ab；

2ab/2||OF|sin?2， 得S= a．

例题2. 已知：A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B、C在双曲线的右支上， △ABC为等边三角形。求△ABC的面积S．（2000年全国联赛改）

简解：由顶点弦的弦长公式，得|AB|=2

3，所以，S=3

3．

例题3. 求过椭圆b2x2+a2y2=1（a＞b＞0）中心的弦AB，与右焦点F组成的三角形的面积的最大值．

简解：由中心弦的弦长公式，得|AB|= 由△ABF的面积S=|AB||OF|sin?22b1?ecos?22； ，

2=

bcsin?1?ecos?2得知：当α=900时，Smax=bc．

例题4. MN是过椭圆b2x2+a2y2=1（a＞b＞0）中心的弦，AB是过该椭圆焦点的弦．若MN∥AB ，求证：|MN|2 ：|AB|是定值．（证明略）．

例题5. 过双曲线b2x2-a2y2=1（a、b＞0）右焦点且斜率为

35的直线，交

双曲线于P、Q两点，OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．（1991全国理科高考试题改）

答案：x?2y23?1为所求.

例题6.设p是椭圆上一点，F1，F2是它的两个焦点，若恒有∠F1PF2=600，求椭圆离心率的范围．

简解：由命题1．

例题7. 双曲线

x29?y216?1的两个焦点为F1、F2；点P在双曲线上。若PF1

⊥PF2，求点P到x轴的距离． （2001年全国高考题）

简解：由命题1在双曲线中形式：ctg? =

2cyb2，得y＝16，所以点P到x轴

5距离为16．

5例题8．已知椭圆C：xa22?yb22?1 （a＞b＞0），其长轴的两个端点为A1、

A2．如果C上存在一点Q，使∠A1QA2=1200，求离心率的范围．

简解：由命题2得：tg?02?ab?3，得

63?e＜1．

25

例题9：椭圆C：x2a2?yb22．过椭圆的左焦点?1（a＞b＞0）

F的 直线P、Q

两点，且OP⊥OQ，求椭圆离心率范围．

简解：由命题3得：tg?02?b2ac?1，得5?12?e?1．

例题10．双曲线的两个焦点为F1、F2；过F1且垂直于x轴的直线交双曲线

于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，求双曲线的离心率的范围．

例题11．设p是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，若∠PF1F2=2∠PF2F2=2α，求椭圆离心率的范围．

例题12．双曲线的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若△ABF为等边三角形，求双曲线的离心率．

例题13．点P在双曲线上，且PF1、PF2的倾斜角之差为600，求△PF1F2

的面积．

例题14．设抛物y2=2px（p＞0）的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点。点C在抛物线的准线上，且BC∥X轴。证明直线AC经过原点O．

（2001年全国高考题） 我们运用极端性原理，根据这些角在取得最值时的特性，求解相关问题，不仅解法上显得轻巧快捷，更是对椭圆认识的深化．

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