张镇军圆锥曲线方程(3)

????????于是CA?CB?(x1?m)(x2?m)?k2(x1?2)(x2?2)

?(k?1)x1x2?(2k?m)(x1?x2)?4k?m2222

2?(k?1)(4k?2)k?12(1?2m)k?2k?122222?4k(2k?m)k?1222?4k?m

2??m?2(1?2m)?24?4mk?12?m．

2????????????????因为CA?CB是与k无关的常数，所以4?4m?0，即m?1，此时CA?CB=?1．

当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，2)，(2，?2)，

????????此时CA?CB?(1，2)?(1，?2)??1．

????????故在x轴上存在定点C(1，0)，使CA?CB为常数． ?x1?x2?x?4，解法二：（I）同解法一的（I）有?

y?y?y?12当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)． 代入x2?y2?2有(1?k2)x2?4k2x?(4k2?2)?0． 则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2??4k2?4ky1?y2?k(x1?x2?4)?k??4??2．

?k?1?k?14k22k?1．

由①②③得x?4?y?4kk?124k22k?1．???????????????????④

．??????????????????????????⑤

x?4y?k，将其代入⑤有

当k?0时，y?0，由④⑤得，

x?4y224?y?(x?4)y??14y(x?4)(x?4)?y22．整理得(x?6)2?y2?4．

11

当k?0时，点M的坐标为(4，0)，满足上述方程．

当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，0)，也满足上述方程． 故点M的轨迹方程是(x?6)2?y2?4．

????????（II）假设在x轴上存在定点点C(m，0)，使CA?CB为常数，

当AB不与x轴垂直时，由（I）有x1?x2?

4kk22?1，x1x2?4k?2k?122．

⒌（湖北理本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2?2py（p?0）相交于A，B两点．

（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值； （II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N(0， ?p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y?kx?x?2pkx?2p?022?x2?2p，y，与x?2py联立得?消去y得p?．p?y?kx2．

y 由韦达定理得x1?x2?2pk，x1x2??2p2． 于是S△ABN?S△BCN?S△ACN?·2px1?x2．

21B C A O N x ?px1?x2?p(x1?x2)?4x1x2

?p4pk?8p?2p∴当k?022222k?22，

时，(S△ABN)min?22p2．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y?a，

AC的中点为O?，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，

12

则O?H?PQ，Q?点的坐标为??∵O?P?12AC?122y?p?，1?． 2??22x1y 2x1?(y1?p)?12y1?p2，

l A O?B C O O?H?a?2y1?p22?122a?y1?p2，

2∴PH?O?P?O?H?14(y1?p)?214x (2a?y1?p)2 N p????a??y1?a(p?a)，

2??∴PQ2??p??2?(2PH)?4??a??y1?a(p?a)?2?????0，得a?．

令a?为y?p2pp2，此时PQ?p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程

2，

即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

AB?1?k22x1?x2?2k?2，

1?k·2(x1?x2)?4x1x2?21?k·24pk?8p

222?2p1?k·又由点到直线的距离公式得d?112p1?k2．

2p1?k2·从而S△ABN?·d·AB?·2p1?k2·k2?222?2p2k?22，

∴当k?0时，(S△ABN)min?22p2．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y?a，则以AC为直径的圆的方程为(x?0)(x?x1)?(y?p)(y?y1)?0，

将直线方程y?a代入得x2?x1x?(a?p)(a?y1)?0， 则△?x12?4(a?p)(a?y1)?4??a??y1?a(p?a)?．

2????设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，

13

??p??则有PQ?x3?x4?4??a??y1?a(p?a)??2?a??y1?a(p?a)．

2?2?????令a?为y?p2?0，得a???p???p?p2，此时PQ?p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程

p2，

即抛物线的通径所在的直线．

⒍（辽宁理本小题满分14分）已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线

y?2x上，其中O2为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）

（I）求圆C的方程；

（II）设圆M的方程为(x?4?7cos?)2?(y?7cos?)2?1，过圆M上任意一

????????点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求CE，CF的最大值和最小

值．

2?y12??y2?（I）解法一：设A，B两点坐标分别为?，y1?，?，y2?，由题设知

?2??2?222?y12?2???y2??2??y12?2???y2??2?2?y12y2?2????(y1?y2)． 2??2解得y12?y22?12，

所以A(6，23)，B(6，?23)或A(6，?23)，B(6，23)． 设圆心C的坐标为(r，0)，则r?2223?6?4，所以圆C的方程为

(x?4)?y?16． ····································································································4分

解法二：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题设知

x1?y1?x2?y22222．

又因为y12?2x1，y22?2x2，可得x12?2x1?x22?2x2．即

(x1?x2)(x1?x2?2)?0．

由x1?0，x2?0，可知x1?x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上．

14

设C点的坐标为(r，0)，则

?3??333?r??2?rA点坐标为?r，r?，于是有??2??222?????2，解

得r?4，所以圆C的方程为(x?4)2?y2?16． ···················································4分 （II）解：设?ECF?2a，则

????????????????2·······································8分 CE?CF?|CE|?|CF|?cos2??16cos2??32cos??16．

在Rt△PCE中，cos??x|PC|?4|PC|，由圆的几何性质得

|PC|≤|MC|?1?7?1?8，|PC|≥|MC|?1?7?1?6，

所以≤cos?≤1223????????16?8≤CE?CF≤?．

9????????16则CE?CF的最大值为?9，由此可得

，最小值为?8．

⒎（全国1理本小题满分12分）已知椭圆

F1，F2．过F1的直线交椭圆于B，DAC?BDx23?y22?1的左、右焦点分别为

两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且

，垂足为P．

x032（Ⅰ）设P点的坐标为(x0，y0)，证明：

?y022?1；

（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值． 证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距c?3?2?1，

由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02?y02?1， 所以，

x232?y022≤x022?y022?12?1．

（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k?0时，BD的方程为y?k(x?1)，代入椭圆方程

x23?y22?1，并化简得(3k?2)x?6kx?3k?6?0．

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