张镇军圆锥曲线方程(4)

设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1?x2??6k223k?2，x1x2?3k?63k?2222

BD?1?k?x1?x2?2?(1?k)???(x2?x2)?4x1x2??1k2243(k?1)3k?22；

因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为??1?43?2?1?2?k?43(k?1)AC??212k?33?2?2k，

所以，．

四边形ABCD的面积

S?12?BDAC?24(k?1)2222(3k?2)(2k?3)≥2??(k?1)222?(3k?2)?(2k?3)???2??2?9625．

⒏（山东理本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

解：(I)由题意，设椭圆的标准方程为

a?c?3,a?c?1，a?2,c?1,b?3

2xa22?yb22?1(a?b?0)

?x24?y23?1.

(II)设

?y?kx?m?2A(x1,y1),B(x2,y2)，由?x2得 y??1?3?4222(3?4k)x?8mkx?4(m?3)?0，

??64mk?16(3?4k)(m?3)?0，3?4k?m?0222222.

x1?x2??8mk3?4k2,x1?x2?4(m?3)3?4k22.

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y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m??以

223(m?4k)3?4k222.

AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kAD?kBD??1，

?y2??1，y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0，

?y1x1?2x2?2223(m?4k)3?4k22?4(m?3)3?4k222?16mk3?4k2?4?0，

7m?16mk?4k?0，解得 m1??2k,m2??2k7，且满足3?4k2?m2?0.

当m??2k时，l:y?k(x?2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当m??2k7时，l:y?k(x?)，直线过定点(,0).

772722综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,0).

⒐（重庆文本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线y2交于A、B两点。

?8x的焦点F，且与抛物线

题（21）图

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

（21）（本小题12分）

（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为y2因此焦点F(p2,0)的坐标为（2，0）.

?2px，则2p?8，从而p?4.

17

又准线方程的一般式为x??p2。

从而所求准线l的方程为x??2。

答（21）图

（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知

|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.

记A、B的横坐标分别为xxxz，则

|FA|＝|AC|＝xx?p2?|FA|cosa?p2?p2?|FA|cosa?4|?41?cosa解得|FA|?41?cosa，

类似地有|FB|?4?|FB|cosa，解得|FB记直线m与AB的交点为E，则

|FE|?|FA|?|AE|?|FA|?|FA|?|FB|2?12。

(|FA|?|FB|)?1?44?4cosa????22?1?cosa1?cosa?sina 所以|FP故|FP|?|FE|cosa?4sin2a。

42|?|FP|cos2a?sina(1?cos2a)?4·2sinsin22aa?8。

?tana解法二：设A(xA,yA)，B(xB,yB)，直线AB的斜率为ky?k(x?2)。

，则直线方程为

将此式代入y2?8x,得k2x2?4(k2?2)x?4k2?0，故xA?xB?k(k2?2)2k。

记直线m与AB的交点为E(xE,yE)，则

xE?xA?xB2?2(k2?2)2k，

yE?k(xE?2)?4k，

21?2k?4??. y????x?2??kk?k?故直线m的方程为

418

令y=0,得P的横坐标xP|FP|?xP?2?4(k2?42k2?42k2?4故

?1)2k?sin4sin2a。

(1?cos2a)?4·2sinsin22从而|FP

|?|FP|cos2a?aaa?8为定值。

⒑（四川理本小题满分12分）设F1、F2分别是椭圆点.

x24?y2?1的左、右焦

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。

解：（Ⅰ）解法一：易知a?2,b?1,c?3 所以F1??3,0?,F2?3,0?，设P?x,y?，则

?????????PF1?PF2??3?x,?y,???3?x,?y?x?y?3?x?1??222x24?3?1?3x42?8?

?????????因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值?2 ?????????当x??2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值1

解法二：易知a?2,b?1,c?3，所以F1??3,0?,F2?3,0?，设P?x,y?，则

???????????????????????????PF1?PF2?PF1?PF2?cos?F1PF2?PF1?PF2?????PF12?????2??????PF2?F1F2?????????2PF1?PF22

?1?x??2??3?2?y?x?2?3?2222??y?12?x?y?3（以下同解法一）

??（Ⅱ）显然直线x?0不满足题设条件，可设直线

l:y?kx?2,A?x1,y2?,B?x2,y2?，

?y?kx?2?联立?x2，消去y2?y?1??4，整理得：?k2???1?2?x?4kx?3?04?

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∴x1?x2??4kk?214,x1?x2?23k?14

由???4k??4??k?2?1?2?3?4k?3?0?4?得：k?32或k??32

????????又0??A0B?90?cos?A0B?0?OA?OB?0

00????????∴OA?OB?x1x2?y1y2?0

又

y1y2??kx1?2??kx2?2??kx1x2?2k?x1?x2??4?23k22k?14??8kk?2214?4??k?1k?2214

∵

23k?14??k?1k?22142?0，即k?4 ∴?2?k?2

故由①、②得?2?k??32或

32?k?2

⒒ (安徽理本小题满分12分)如图，曲线G的方程为y2=2x（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.

（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式； （Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证： 直线CD的斜率为定值.

解：（Ⅰ）由题意知，A(a，2a)． 因为OA?t，所以a?2a?t．

22y G:y?2x

2D B A 由于t?0，故有t?a2?2a． （1） 由点B(0，t)，C(c，0)的坐标知， 直线BC的方程为?cxyt?1．

O a a?2 Ｃ x 又因点A在直线BC上，故有?ca2at?1，

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