张镇军圆锥曲线方程

圆 锥 曲 线

圆锥曲线一章是高考和教学中的重点内容，蕴涵着多种数学思想、方法，教学中应遵循重基础、抓共性、讲通法、善变化的原则，使基础知识、基本技能、基本方法得到巩固，提高学生知识和方法的运用能力。

一、基本思想和基本方法

⒈基本思想：运动与联系、特殊与一般、函数与方程、转化与类比 ⒉基本方法：代数方法、几何方法、向量方法、三角代换 ⒊基本问题：①由性质求轨迹方程 ②由方程研究性质

二、常见的几种题型 ⒈ 求轨迹方程

⒉ 弦长公式极其应用 ⒊ 垂直半径的问题

⒋ 弦的中点与斜率的关系

⒌ 圆锥曲线上关于直线的对称点问题 ⒍ 圆锥曲线的切线问题

⒎ 圆锥曲线中的不等式问题

三、几组公式：

㈠三类弦长（e表示离心率,p表示焦准距,α弦所在直线的倾斜角）： 1．焦点弦的弦长：

椭圆： |AB|=双曲线：|AB|=

1?ecos?222ep1?ecos22?2；

；当1?e2cos22ep|1?ecos?|2?＞0时，AB是内点弦，当

＜0时，AB是外点弦．

?抛物线：|AB|=

2psin2．

说明：利用圆锥曲线的统一定义证明． 2．中心弦的弦长：

2b椭圆： |AB|=； 双曲线：|AB|=

1?ecos?2222becos??12．

说明：可结合圆锥曲线的参数方程证明．

3．顶点弦的弦长（这里的顶点在长轴、实轴上）： 椭圆： |AB|= 双曲线： |AB|= 抛物线： |AB|=

2ep1?ecos22?2|cosα|； |cosα|；

2ep|1?ecos?|2psin22?|cosα|．

说明：可利用直线、圆锥曲线的参数方程证明．

㈡ 与圆锥曲线离心率相关的几个角（以椭圆为例）：

1

⒈ 命题1：设P（x，y）是椭圆x2a2?yb22=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2是

cb椭圆的两个焦点，∠F1PF2=α，则y=±b时，?max＝2arctg简证：由△PF1F2的面积为S=b2 tg? =c|y|，所以tg? =

22yb22，

cyb2．（或由均值定

理）．

2．命题2.设P（x，y）是椭圆x2a2?=1（a＞b＞0）上一点。∠A1PA2=α，

abba?max?2arctg∠B1ＰB2=β，则当y=±b时，

?max?2arctg；当x=±a时，

yx?a．

简证：设PA1、PA2的斜率分别为K1、K2，则K1=

2，K2=

yx?a；

可得：K1K2 ＝－b2；由到角公式和均值定理既可证明．

a⒊命题3：设P、Q是椭圆xa22?yb22=1（a＞b＞0）的左焦点弦，倾斜角为α，

0

O是原点，∠POQ=β，则当α=90时，?min⒋命题4：设P，Q是椭圆x2a2?2arctgb2ac．

?yb22?1（a＞b＞0）的左焦点弦，倾斜角

为?，O是原点，A1，A2是椭圆长轴的两个顶点。设∠PA2Q=?，∠PA1Q=?，

epa?c则当?=90时，?min?2arctg0

；当?=90时，?max?2arctg0

epa?c．

说明：命题在双曲线、抛物线形式略有变化，研究方法相同．

㈢ 圆锥曲线中的三角形： ⒈ 焦点三角形： ① 面积：S=c|y|/2=b2tg② 离心率：e=

?2=br1r2?b2

sin(???)sin??sin?⒉ 与焦点弦有关的三角形：

2

S=

epcsin?1?ecos?22 S=

2epcsin?1?ecos?22c)sin? S=ep(a? 221?ecos?

⒊ 与准线有关的三角形

EF1平分∠QEP，

S=

ep22sin?2； FQ⊥OQ，S=abp/c．

1?ecos?

四、例题讲解

㈠轨迹方程的求法

例题⒈（坐标法）点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为p，MN为l上的定长线段，且|MN|=2p，

⑴当|MN|在直线l上滑动时，求△AMN外心C的轨迹E。

⑵当圆心C在E上什么位置时，|AM|+|AN|=23p？

说明：一般步骤：

① 选择适当的直角坐标系．②设所求点为P（x，y），并写出相关点的坐标． ③ 出一个含已知点和所求点的等式．④用坐标表示这个等式，并化简整理． ⑤ 去“坏”点．

例题⒉ （判断轨迹法）已知⊙O的方程为x2+y2=4；定点A（4，O）；求过定点A且与⊙O相切的动圆圆心P的轨迹方程．

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答案：（x-2）-y/3=1 说明：一般步骤：

① 根据条件判断是否为学过的点的轨迹方程．②判断轨迹的位置． ③利用已知的方程形式，设出待定系数求解．④整理检验．

例题⒊（转移法）F1、F2是椭圆x2/2+y2=1的两个焦点，P是抛物线y=x2上的动点，求三角形F1PF2的重心轨迹方程．

答案：y=3x2（消参法，交轨法） 说明：一般步骤

①设所求点为P（x，y），相关点为Q（x0，y0）。②建立P、Q坐标的关系式，解出x0，y0 ；③代入F（x，y）=0。④整理检验。

例题⒋已知三点A（-4，0）、B（4，0）、F（8，0），直线l的方程为x=2，过F作互相垂直的两条直线，分别交l于M、N点，直线AM、BN交于P点，求P点的轨迹方程．答案：（x2/16-y2/48=1）

说明：一般步骤：

3

①若所求动点P（x，y）的坐标关系不易找到，也没有相关点可以利用，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，然后再消去参数，建立普通方程．

②参数的选择丰富多彩，常用的有变角、变斜率、有向线段数量等等．

㈡直线与圆锥曲线：

例题⒈ （弦长公式、垂直应用） ⒈ 直线l：y=

交双曲线3/5（x-C）

C：x2-y2/3=1于A、B点，OA⊥OB，求|AB|．

答案：4

⒉ 已知抛物线y2=2x，直线l在y轴上的截距为2，且与抛物线交于P、Q两点，以|PQ|为直径的圆过原点，求该直线的方程。

答案：y=-x+2

例题⒉ （弦的中点与斜率的关系）

⑴ 已知椭圆

xa22?yb22?1?a?b?0?与直线x+y=1交于A、B两点，|AB|=22，AB

的中点M与椭圆中心连线的斜率为2/2，求椭圆的方程。

答案：（Ax2+By2=1；x2+2y2/=3）

22

⑵ 双曲线C：x/4-y/2=1。①过M（1，1）的直线，交双曲线于A、B两点，求直线AB的方程。②是否存在直线l，使N（1，1/2）为l被双曲线所截弦的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。

答案：x-2y+1=0；不存在，因为直线与双曲线无公共点。

例题⒊ (圆锥曲线中的对称问题)

⑴ 若抛物线y=ax2-1（a＞0）上存在关于直线x+y=0对称的两个点，求a的取值范围。

答案：a＞3/4

（提示：由交点弦的中点在x+y=0上及△＞0求出；或由弦的中点在内部求出）

⑵ 已知椭圆方程为C：x2/4+y2/3=1。试确定m的范围，使得椭圆C上存在着不同的两个点，关于直线l：y=4x+m对称。

答案：M∈（-2

13/13，2

13/13）

㈢圆锥曲线的切线问题

例⒈（江苏理本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线y?x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y??c交于P,Q，

4

????????（1）若OA?OB?2，求c的值；

yB（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；

（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。 解：（1）设过C点的直线为y?kx?c，所以，k?x0?c????????A?x1,y1?,B?x2,y2?，OA=?x1,y1?，OB??x2,y2?????????因为OA?OB?2，所以

x?2CPAx?kx??cc?0?2，即设，

2OxQl2即x1x2??x1x2?y1y2?2，kx1?ck?x?2c???2，x1x2?kx1x2?kc?x1?x2??c?2

所以?c?k2c?kc?k?c2?2，即c2?c?2?0,所以c?2?舍去c??1?

（2）设过Q的切线为y?y1?k1?x?x1?，y/?2x，所以k1?2x1，即

y?2x1x?2x1?y1?2x1x?x122?x1?c,?c?，又，它与y??c的交点为M??22x?1?2?c?x1?x2y1?y2??kk?k?P?,?,?cxx??c，所以Q，因为,所以??x2，,?c?12????22x1?2????22?所以M?切线。

?x1?2?x2??k?,?c???,?c?,所以点2???2M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的

（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q?,?c?，因为PQ?x轴，所以P?,yP?

?2??2??k??k?因为

x1?x22?k2，所以P为AB的中点。

例⒉（安徽文本小题满分14分）设F是抛物线G:x2=4y的焦点. （Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程： （Ⅱ）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足FA·FBBF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.

2?x0?xx解：（I）设切点Q?x0，?．由y??，知抛物线在Q点处的切线斜率为0，故

224???0,延长AF、

所求切线方程为y?x02x442x042?x02(x?x0)．

即y?x?．

因为点P(0，??)在切线上．

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