张镇军圆锥曲线方程(2)

所以?4??x042，x02?16，x0??4．

所求切线方程为y??2x?4． （II）设A(x1，y1)，C(x2，y2)．

由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k?0． 因直线AC过焦点F(0，1)，所以直线AC的方程为y?kx?1． 点A，C的坐标满足方程组?得x2?4kx?4?0， 由根与系数的关系知?AC?2?y?kx?1，?x?4y，2

?x1?x2?4k，?x1x2??4.2

(x1?x2)?(y1?y2)?1?k2(x1?x2)?4x1x2?4(1?k)．

1k22因为AC?BD，所以BD的斜率为?同理可求得

，从而BD的方程为y??．

1kx?1．

22??1??4(1?k)BD?4?1??????2??kk????SABCD?12ACBD?8(1?k)k222?8(k?2?21k2)≥32．

当k?1时，等号成立．所以，四边形ABCD面积的最小值为32．

例3（06全国卷I）在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1?0,?3?和

F20,3??为焦点、离心率为32的圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点

?????????????P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OM?OA?OB。

求：

（Ⅰ）点M的轨迹方程； （Ⅱ）

?????OM的最小值。

6

22 a－b=3?22?yx22

.解: 椭圆方程可写为: 2 + 2 =1 式中a>b>0 , 且 ?33 得a=4,b=1,

ab??a =2

y22

所以曲线C的方程为: x+ =1 (x>0,y>0). y=21－x2 (0

4

2x1－x

2

4x0

,得切线AB的y0

设P(x0,y0),因P在C上,有0

4x014y=－ (x－x0)+y0 . 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x= , y= .

y0x0y0由= +得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:

14 + =1 (x>1,y>2) x2y24(Ⅱ)| |= x+y, y= =4+ 2 ,

1x－11－2x

2

2

2

2

4

∴| |2= x2－1+

442

+5≥4+5=9.且当x－1= ,即x=3>1时,上式取等号. x2－1x2－1

故||的最小值为3.

五、07高考题再现

⒈（北京文理本小题共14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为

yC x?3y?6?0点T(?1，1)在AD边所在直线上．

N（I）求AD边所在直线的方程； （II）求矩形ABCD外接圆的方程；

（III）若动圆P过点N(?2，0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

TD O A M B x 解：（I）因为AB边所在直线的方程为x?3y?6?0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为?3． 又因为点T(?1，1)在直线AD上，

所以AD边所在直线的方程为y?1??3(x?1)．3x?y?2?0．

7

（II）由??x?3y?6?0，?3x?y?2=0解得点A的坐标为(0，?2)，

因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2，0)． 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． 又AM?(2?0)2?(0?2)2?22．

从而矩形ABCD外接圆的方程为(x?2)2?y2?8．

（III）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以PM?PN?22， 即PM?PN?22．

故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为22的双曲线的左支． 因为实半轴长a?2，半焦距c?2． 所以虚半轴长b?c2?a2?2．

从而动圆P的圆心的轨迹方程为

⒊（福建理本小题满分12分）如图，已知点F(1，0)， 直线l:x??1，P为平面上的动点，过P作直线

????????????????l的垂线，垂足为点Q，且QP?QF?FP?FQ．

x22?y22?1(x≤?2)．

l y F ?1 O 1 x （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

????????（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知MA??1AF，????????MB??2BF，求?1??2的值；

????????????????解法一：（Ⅰ）设点P(x，y)，则Q(?1，y)，由QP?QF?FP?FQ得：

(x?1，0)?(2，?y)?(x?1，y)?(?2，y)，化简得C:y?4x2．

（Ⅱ）设直线AB的方程为：x?my?1(m?0)．

8

2?设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M??1，???，

?m??y2?4x，联立方程组?，消去x得：

?x?my?1，y?4my?4?0，??(?4m)?12?022，故

Q y P B O M F A ?y1?y2?4m， ??y1y2??4．????????????????由MA??1AF，MB??2BF得：

y1?2m???1y1，y2?2m???2y2x ，整理得： ?1??1?2my1，?2??1?2my2，

??1??2??2?2?11?24m2y1?y2?0． ???2????2????m?4m?y1y2?my1y2????????????得：FQ?(PQ?PF)?0，

????????????????解法二：（Ⅰ）由QP?QF?FP?FQ?????????????????(PQ?PF)?(PQ?PF)?0，

????????????2????2?PQ?PF?0，?PQ?PF．

所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2?4x．

????????????????（Ⅱ）由已知MA??1AF，MB??2BF，得?1??2?0．

则：

????MA?1??????MB?2????AF????BF．????①

过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，

????????????MAAA1AF则有：??????????????．????②

MBBB1BF?????????1AFAF由①②得：??????????，即?1??2?0．

?2BFBF

9

⒋（江西理本小题满分12分）已知双曲线x2?y2?2的左、右焦点分别为

F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．

?????????????????（I）若动点M满足F1M?F1A?F1B?F1O（其中O为坐标原点），求点M的

轨迹方程； （II）在

x轴上是否存在定点C????????，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐

标；若不存在，请说明理由．

解：由条件知F1(?2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

?????????解法一：（I）设M(x，y)，则则F1M?(x?2，y)，F1A?(x1?2，y1)， ?????????????????????????F1B?(x2?2，y2)，F1O?(2，0)，由F1M?F1A?F1B?F1O得 ?x?2?x1?x2?6，?x1?x2?x?4，即? ??y?y1?y2?y1?y2?y于是AB的中点坐标为??x?4y?，?． 22??y当AB不与x轴垂直时，

y1?y2x1?x2?2x?42??2yx?8，即y1?y2?yx?8(x1?x2)．

又因为A，B两点在双曲线上，所以x12?y12?2，x22?y22?2，两式相减得

(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，即(x1?x2)(x?4)?(y1?y2)y．

将y1?y2?yx?8(x1?x2)代入上式，化简得(x?6)2?y2?4．

当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，0)，也满足上述方程． 所以点M的轨迹方程是(x?6)2?y2?4．

????????（II）假设在x轴上存在定点C(m，0)，使CA?CB为常数．

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)． 代入x2?y2?2有(1?k2)x2?4k2x?(4k2?2)?0． 则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?10

4k22k?1，x1x2?4k?2k?122，

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