测量坐标转换系统的设计与实现（毕业论文）(6)

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（4）空间直角坐标系与大地地理坐标系的相互转换模型

同一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换。如图3.2所示：

图3.2参（地）心直角坐标系与参（地）心大地坐标系的关系

①大地地理坐标转换为空间直角坐标的转换模型[7]为：

P(B,L,H)?P(X,Y,Z)

?X?(N?H)cosBcosL??Y?(N?H)cosBsinL （3.5） ?Z?N(1?e2)?HsinB???其中，参数：N?a(1?e2sin2B)?1/2为椭球(参心坐标系的参考椭球或地心坐标系的地球椭球)的卯酉圈曲率半径；e2?(a2?b2)/a2，e为椭球第一偏心率；a,b为椭球长短半径。

②空间直角坐标转换成为大地地理坐标的转换模型[7]为：

P(X,Y,Z)?P(B,L,H)

X?L?arctan?Y?Z?Ne2sinB? ?B?arctan （3.6）

22X?Y??Z?N(1?e2)?H?sinB?在采用上式进行转换时，需要采用迭代的方法，先利用下式求出B的初值

??Z?? E?arctan（3.7） ?22??X?Y?然后，利用该初值在求定H、N的初值，再利用所求出的H和N的初值再次求定B值。

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③将空间直角坐标转换成为空间大地坐标也可以采用如下的直接算法[14]

??Y?L?arctan????X?????Z?e'2bsin3???? （3.8） B?arctan???2223?X?Y?eacos????22?H?X?Y?N?cosB???a2?b2Z?a2??。 ??arctan其中：e'?，2??22b?X?Y?b?（5）平面极坐标(R，?)和平面直角坐标(X，Y)之间的转换模型[13]

?X?R*cos?? （3.9） Y?R*sin??3.1.2 不同基准下坐标系统之间的转换模型 （1）平面四参数转换模型[15,16]

在进行平面坐标系统之间的转换时，假设两坐标系的原点的平移参数为x0、y0，尺度比参数为K，坐标轴旋转角为?，同名点两个坐标系的坐标分别为（x，y）和

(x',y')，则坐标转换模型可以表示为

?x??x0?xKcosa?yKsina （3.10） ??y?y?xKsina?yKcosa0?令P?Kcosa,Q?Ksina，不难求出K?P2?Q2,a?arctanQ，则上式变为 P?x??x0?xP?yQ （3.11） ??y??y0?xQ?yP这样，利用重合点的两套坐标可以计算出转换参数(x0,y0,P,Q)，也可以计算出相应的平移与旋转参数。当重合点多于2个时，采用最小二乘方法计算转换参数。

进行坐标转换时，同时需要对坐标的协因数阵进行转换。设需转换的坐标点数为n，原坐标向量和转换矩阵分别为

X=(x1，y1，x2，y2，…，xn，yn)T A=(AT1，AT2，…，ATn)T 其中：

?P?Q? Ai???QP?? （i=1，2，?，n）

??

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相应，设转换后坐标向量与常数项分别为

X'?(x'1,y'1,x'2,y'2,...,x'n,y'n)T X0=(x0，y0，x0，y0，…，x0，y0)T

于是，转换模型可以表示为

X??AX?X0 （3.12）

设向量X的协因数矩阵为QXX，则可以计算出向量X'的协因数矩阵为Q'XX

Q'XX?AQXXAT

（2）不同空间直角坐标系之间的转换模型

设有两个空间直角坐标系O1?X1Y1Z1和O2?X2Y2Z2，这两个坐标系的原点不重合，坐标轴不平行，对应的坐标之间存在三个旋转角（欧拉角），记为?x,?y,?z，两个坐标系的尺度也不一致，设O1?X1Y1Z1的尺度为1，而设O2?X2Y2Z2的尺度为1+?u，尺度变化为?u，一般称为任意点Pi在两个坐标系中的坐标（XiI,YiI,ZiI）和（XiII,YiII,ZiII）之间的关系为三维转换模型。自20世纪60年代以来，出现了多种转换数学模型，常见的转换模型主要有以下几种： 1）布尔莎模型[17,18]

图3.3两个空间直角坐标系间的关系

如图两个定向直角坐标系：O?XYZ和O'?X'Y'Z'，其坐标原点不相一致，即存在三个平移参数?X?Y?Z，其坐标轴相互不平行存在三个旋转参数，又因为两坐标系尺度不一样，从而引进一个尺度变化因子，表示为：

?X'??X'???X0??X??Y????Y'??R?Y'????Y??????0? （3.13） ??'?'?????ZZZ????Z0???????

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当mx,my,mz很小时，旋转矩阵R可以写成

?1??m?Z??mYmZ1?mX?mY?mX??1?? (3.14)

上式由七个变换参数?X,?Y,?Z，mx,my,mz，?组成，简称布尔莎七参数公式，其参数一般利用公共点的两套空间坐标（X，Y，Z）和（X',Y',Z'）采用最小二乘法解得。上式写成矩阵形式为：

??X0???Y??0?Y'???Z0??X'???????X'??????Y'? （3.15）

?mX??Z'?0???????mY??m??Z???X0???Y??0?'Y???Z0???x????? （3.16） ?X'???????y??????z?0????mX???mY??m??Z??X??100?Y???010?????Z????001X'Y'Z'0Z'?Y'?Z'0X'进而写成误差方程式形式：

?VX??1?V???0?Y????VZ????0010001X'Y'Z'0Z'?Y'?Z'0X'根据最小二乘原理要求VTPV最小，可得参数向量的解X=(ATPA)?1(ATP?)?1A为系数矩阵。 2)莫洛金斯基模型[17,18]

为了消除布尔莎模型中平移与旋转参数之间的强相关性，引入了另一旋转中点，也就是旋转中心由原来的地心坐标系原点，改为一个特定的位置，转换公式变为

?XT??1?RZ?RZ??XS?XP??XP??dX??Y??M???R???Y?Y???Y???dY?1?RX??SP??P???T??Z? （3.17） ??1??ZT????RY?RX???ZS?ZP????ZP????dZ??参数定义如下：

（dX,dY,dZ）：两坐标系的原点平移矢量（平移参数），原坐标系中的点位置矢量加上原点，也就是该点在新坐标系中的位置矢量。平移参数也就是原坐标系的原点在

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新坐标系中的坐标值。

（RX,RY,RZ）：坐标参考框架的旋转角（旋转参数），符号规定为从直角坐标系原点，沿轴正向看，坐标参考框架绕轴顺时针旋转为正。从原坐标系到新坐标系，若绕Z轴的旋转角度为正，转换后的坐标经度将变小。角度单位本文要求是弧度。

（XP,YP,ZP）：坐标参考框架的旋转中心点，在原直角坐标系中定义。 M：位置矢量的比例因子（尺度比参数），位置矢量从原坐标系转换到新坐标系的尺度伸缩量。M?1?dS*10?6，其中dS为尺度校正量，以百万分之一计（ppm）。

在此模型中认为受旋转和尺度影响的只是P点和S点间的坐标差,P点不受转换参数的影响。 3)武测模型

WI?XiII??X0??XiI???Xki??0?II??W??I???I?Y?Y?Y??u?Y??i??0??i??ki???zW?I??ZiII??Z0?ZiI???Zki???????????x?z0?y?y??XiI?????x??YiI? （3.18）

?ZiI?0????ww式中X0和?x,?y,?z，?u，为此模型的转换参数。在此模型中，认为尺度参数,Y0w,Z0?u只对Pi和Pk的坐标差产生影响，而旋转参数对Pi点的坐标产生影响，也可以证明，

旋转参数和尺度参数与布尔莎模型相同，而平移参数不同。 4)综合法坐标转换模型[19,20]

所谓综合法即就是在相似变换（Bursa七参数转换）的基础上，再对空间直角坐标残差进行多项式拟合，系统误差通过多项式系数得到消弱，使统一后的坐标系框架点坐标具有较好的一致性，从而提高坐标转换精度。

综合法转换模型及转换方法如下：

①利用重合点先用相似变换转换（Bursa七参数坐标转换模型）

?XT??Y???T???ZT????X??0??Y???Z???S???Z?????YS?ZS0XSTYS???X??XS??XS??XS???Y??m?YS???YS? （3.19）

????????0???Z?????ZS????ZS??式中，3个平移参数??X数m。

?Y?Z?，3个旋转参数??X?Y?Z?T和1个尺度参

②对相似变换后的重合点残差VX,VY,VZ采用多项式拟合

VX或VY或VZ???ai?0j?0kiiji?jjBSLS

式中：B，L单位为弧度；K为拟合阶数；aij为系数，通过最小二乘求解。

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