2008年高考试题——数学理(安徽卷)(11)

2008 高考试题

x2 =

4 + λx 1+ λ x , y2 = …………………………………② 1+ λ 1+ λ

由于 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 在椭圆上，将①②分别带入 C 的方程

x2 y 2 + = 1 ,整理得： 4 2

( x 2 + 2 y 2 4)λ 2 4(2 x + y 2)λ + 14 = 0 ………………③ ( x 2 + 2 y 2 4)λ 2 + 4(2 x + y 2)λ + 14 = 0 ………………④由④-③得

8(2 x + y 2)λ = 0 .

∵ λ ≠ 0 ,∴ 2 x + y 2 = 0 .即点 Q ( x, y ) 总在直线 2 x + y 2 = 0 上. 方法二：设点 Q ( x, y ) , A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,由题设， PA 、 PB 、 AQ 、 QB 均不为 0,记

λ=

PA AQ

=

PB QB

,则 λ > 0 且 λ ≠ 1 .

又 P, A, Q, B 四点共线，从而 PA = λ AQ , PB = λ BQ ,于是：

4=

x1 λ x2 y λ y2 ,1 = 1 ; 1 λ 1 λ x + λ x2 y + λ y2 ,y= 1 . x= 1 1+ λ 1+ λ

从而

x12 λ 2 x 22 1 λ2

= 4 x ……………①

y12 λ 2 y 22 1 λ2

= y ……………②

又点 A, B 在椭圆上，即

x12 + 2 y12 = 4 ………………③ x22 + 2 y 22 = 4 ………………④①+2 × ②并结合③,④得 2 x + y 2 = 0 ,即点 Q ( x, y ) 总在直线 2 x + y 2 = 0 上.

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