张量运算(8)

★设Σ系中一点(x1,x2,x3)，通过坐标系的转动，在Σ 系中坐标为(x 1,x2,x3)，则：

3 xi=αijxj,i=1,2,3

j=1

★其中αij=e i·ej为坐标转动角的方向余弦，由其构成的矩阵称为坐标变

换系数矩阵。【爱因斯坦求和约定】在张量运算中，在算式的某项中出现重复下标，

就意味着对这个指标求和，求和号并不写出，该指标称之为哑指标。

★由此，上式即可简写成

x i=αijxj

,

i=1,2,3

坐标变换与爱因斯坦(Einstein)求和约定（续）

★满足式(1)（距离保持不变）的线性变换称之为正交变换：

x ixi=xixi=const

(1)

★空间转动属于正交变换。其系数矩阵αij为一正交矩阵：

αα =I

★其中I为单位矩阵。

§2.2张量的定义

【定义】如果某一物理量T，在三维笛卡儿坐标系下，由3n个有序分

量Tl···m描述，并且经过由坐标系Σ到Σ 的变换αij后，满足如下关系：

Ti ···j=αil······αjmTl···m

则称该量T为n阶张量。

★零阶张量：标量，坐标变换下不变，如质量、电荷等；

T =T

★一阶张量：矢量，如速度、力、电场强度、 算符等；

Ti =αijTj

xj ==αij x x xjii xj

★高阶张量：应用最多的是二阶张量

8

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