张量运算(2)

§1.3三矢量的矢积

既然f在a,b平面上，则可以分解为两个方向

矢积的方向：设c×(a×b)=f，则f在a,b平面上，且与c在该平面的投影垂直

c×(a×b)=(b·c)·a (a·c)·b

(a×b)×c=(a·c)·b (b·c)·a

【推论】

a×(ex×ey)=(a·ey)·ex (a·ex)·ey=ay·ex ax·ey

ex×(a×ey)=(ex·ey)·a (a·ex)·ey= ax·ey

证明矢积的公式

【求证】

c×(a×b)=(b·c)·a (a·c)·b

【证明】设

f=c×(a×b)=c×d

故

d=(a2b3 a3b2)ex (a1b3 a3b1)ey+(a1b2 a2b1)ezf1=c2d3 c3d2=c2(a1b2 a2b1)+c3(a1b3 a3b1)

=a1(b2c2+b3c3) b1(a2c2+a3c3)+(a1b1c1 b1a1c1)=a1(b·c) b1(a·c)同理：

f2=a2(b·c) b2(a·c)f3=a3(b·c) b3(a·c)

故此

f=(b·c)·a (a·c)·b

§1.4矢量分解

将矢量分解为两个矢量的和，其一沿着b方向，其二在a,b平面上且垂直c方向

a·(b·c)=(c·a)·b+c×(a×b)=(c·a)·b+(b×a)×ca·(b·c)=(a·b)·c+b×(a×c)=(a·b)·c+(c×a)×b【推论】

a=a·(ex·ex)=(a·ex)·ex+(ex×a)×ex=ax·ex+ex×(a×ex)

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