《电磁学》教案(3)

带电体，这一结论也成立。因而静电力的作功特点是：试验电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的功，仅与试验电荷的电量以及路径的起点和终点的位置有关，而与移动的路径无关，这说明静电场力是一种保守力。?

2.环路定理?

如果试验电荷在电场中经过任一闭合曲线又回到原来的位置，这样可得，电场力作的功为零，即

q0?lE?dl = 0 因为试验电荷q0≠0，所以?

?lE?dl = 0

这说明，静电场中场强沿任意闭合环路的线积分(称作环量)恒等于零，这个结论称为静电场的环路定理。

静电场的环路定理表明静电场是无旋(散)场。静电力作功的特点和重力作功的特点完全相同，因此我们可以像引入重力势能一样引入电势能和电势的概念。

3.电势能?

根据功与能的概念，显然上式右边两项应是电势能W a和W b，这样就有? Aab = W a- W b = ?aq0E?dl

该式表明，在q0移动的过程中，电场力作的功等于静电势能的减少量，

如果静电力作正功，即 Aab＞0， 则 W a＞ W b； 如果静电力作负功，即 Aab＜0， 则 W a＜W b 。 将上式变换为?

W a= W b+ Aab = W b+ ?aq0E?dl

这表明，电荷q0在场中任一点a所具有的电势能，一方面取决于将q0从a点移动到b点时电场力作的功Aab?，另一方面还取决于b点的电势能Wb，即电势能具有相对性。若要确定电荷q0在某点电势能的值，必须选定一个电势能为零的参考点。应该注意，参考点的选取是任意的。若选定电荷在b点的电势能为零，即Wb＝0，则? W a= Aab = ?aq0E?dl

这就是说，电荷在电场中某点的电势能，在量值上等于把电荷从该点移动电势能为零的参考点时静电力所作的功。在研究中，常取无穷远处或地球为电势能的零参考点。所以?

bbb W b= ?aq0E?dl

b11

4.电势?

由式上可知，电荷q0在场中a点的电势能Wa与q0的大小成正比，但比值却q0与无关，而只取决于电场的性质以及场中给定点a的位置。所以，我们定义：单位正电荷在某点处所具有的电势能，称为电势,用u表示，? U a=

Waq0 = ?a?E?dl

由式此可知，电势也等于单位正电荷从该点经过任意路径移到零电势能参考点时电场所作的功。电势是标量，其值可正可负，在SI单位制中，电势的单位是伏特(V)，1库仑的电荷在某点具有1焦耳电势能时，该点的电势就是1伏特。?

在静电场中，任意两点a和b之间的电势之差叫电势差，也叫电压，用U ab或ΔU表示，?电荷q0在a点的电势能?

U ab= ?a?E?dl - ?b?E?dl = ?abe?dl 电荷q0在a点的电势能?

W a= q 0U A

5.电势的计算?

一般求电势的方法有两种：? (1)用叠加原理求电势

??U p= ?pE?dl = ?p14??0qr2dr=

14??0qr

式中rp是点电荷q到P点的距离，q＞0时，Up＞0，空间各点电势为正，且随r的增大而降低，无限远处为零；反之q＜0时，Ub＜0，空间各点电势为负，且随r的增大而升高，无限远处为零。

?对于点电荷系产生的电场，则电势?

??? U p= ?pE1?dl+ ?pE2?dl+??pEn?dl=

14??oq1r1 +

14??oq2r2 + ?+

14??oqnrn

即 U P= ?14??0qiri

表明点电荷系电场中某一点的电势，等于各个点电荷单独存在时在该点电势的代数和，称为电势叠加原理。电势是标量，所以它不像力的叠加、场强的叠加那样是矢量之和，而是标量代数之和。

对于连续带电体产生的电场，则其电势?

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U P= ?14??0dqr

由此可见，利用叠加原理求电势的解题步骤为: “选取dq，写出dE，求和积分，解算讨论”，与利用叠加原理求场强相似。?

例题1：对角线为2r的正方形四个顶角上各放等量同号电荷q，试求中心点的电势?(r＝5.0cm，q＝4.0?10?10C)

例题2：试求均匀带电细圆环轴线上任一点的电势。

? 例题3:求均匀带电球面电场中的电势分布。已知球面半径为R，带电为＋q。?

例题4：无限长均匀带电圆柱面，半径为R，单位长度上带电量为＋λ，试求其电势分布。?

四、板书设计

（见多媒体光盘）

五、练习作业

思考题：10－15 作 业：24－28

第五节 电势与场强的微分关系

一、教学内容

（1）等势面

（2）电势与场强的微分关系——电势梯度 （3）利用电势梯度求场强

二、教学方式

讲授 三、讲课提纲

1.等势面?

所谓等势面，就是电势相等的点集合而成的曲面。下图画出了正的点电荷、电偶极子和等量异号带电平行板的等势面，用图中虚线表示(图中实线为电力线)。

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点电荷的等势面非常容易求得，因为U =

q4??0r，所以等势面为一组同心球面。复

杂带电体的等势面可由实验测定，但对于任何带电体所产生的静电场的等 势面都具有以下基本特征：?

(1)沿等势面移动电荷时静电力不作功。因为在等势面上任意两点的电势差为零，所以A＝qU ab= 0 .

(2)等势面的电势沿电力线的方向降低， 因为 U ab=?abE?dl，所以当E与l同方向时，U ＞0，即U a＞U b 。 ? (3)等势面与电力线处处正交。因为若等势面与电力线不正交，则在等势面上就有场强的平行分量，这样，U ab= ?E//?dl?0 就不是等势面。因此在实际中常常是先找等势面而后画电力线。?

4)等势面密处电场强，等势面疏处电场弱。因为一般等势面间的电势差都是相等的，比如都是10V，这样由U＝?E?dl?可知，Δl小处，即等势面密度大处电场E大。?

2.电势梯度

设a，b为电场中靠近的两点，相距为Δl， 电场力作的功? ? A = ?q0Ecos??l 而电场力作的功也可表示为：?

q0?Ua?Ub??q0?U 式中ΔU表示a点到b点的电势增量，由以上两式可得? ? Ecos??El???U?l

表明场强在某方向上的分量等于该方向上每单位长度上电势增量的负值，负号表明场强恒指向电势降落的方向。对于电场中某一点的场强与电势的关系则有? ? El???U?l

如果我们取等势面U的法线方向的单位矢量为n，则? E = -?U?nn El?U?n???U?ncos? 通常我们将这个单位长度上电势的最大增量 n称作电势梯度矢量，所以场强与电势

的微分关系可表述为：某点电场强度就等于该点电势的负梯度，其分量E?l就等于该点电势梯度在这个方向上投影的负值。

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3．利用电势梯度求场强

这个关系在实际应用中很有用处，它为我们提供了求解电场强度E的第三种方法，那就是先求出电势U，然后算出E?x，E?y，E?z，从而求得E，由于U是标量，所以比直接积分求E就更为容易些。?

例题1：求垂直于圆盘的轴线上任一点的场强，其半径为R，面电荷密度为σ。? 例题2：求电偶极子电场中任一点P的场强。?

四、板书设计

（见多媒体光盘）

五、练习作业

思考题：0

作 业：29－32

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