中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第4章课后习题详解(6)

1?xcoslnx?xsinlnx??xcoslnx?dx?xcoslnx?xsinlnx??coslnxdxx

x??coslnxdx?(coslnx?sinlnx)?C.2★★(12)

lnx?x2dx

思路：详见第(10) 小题解答中间，解答略。

★★(13)

nx?lnxdx(n??1)

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

xn?11n?11n?11?xlnx??x?dx 解：?xlnxdx??lnxdn?1n?1n?1xn?★★(14)

1n?11n1n?1?1?xlnx??xdx?x?lnx???C. n?1n?1n?1(n?1)???xe2?x2?xdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：xedx??xe?2?x??e?x2xdx??x2e?x?2xe?x?2?e?xdx

??x2e?x?2xe?x?2e?x?C??e?x(x2?2x?2)?C

★★(15)

32x(lnx)dx ?思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：x(lnx)dx?(lnx)d(x)??32?21441411x(lnx)2??x4?2lnx?dx 44x14111x(lnx)2??x3lnxdx?x4(lnx)2??lnxdx442481111111?x4(lnx)2?x4lnx??x4?dx?x4(lnx)2?x4lnx??x3dx 488x48811111?x4(lnx)2?x4lnx?x4?C?x4(2ln2x?lnx?)?C.483284?★★(16)

lnlnx?xdx

lnlnxdx写成lnlnxd(lnx)，将lnx看作一个整体变量积分即可。 x思路： 将积分表达式

21

解：

lnlnx111dx?lnlnxd(lnx)?lnxlnlnx?lnx??dx?lnxlnlnx??x??lnxx?xdx

?lnxlnlnx?lnx?C?lnx(lnlnx?1)?C.

★★★ (17)

?xsinxcosxdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

11111xsin2xdx?xd(?cos2x)??xcos2x?cos2xdx ??2??22441111??xcos2x??cos2xd2x??xcos2x?sin2x?C.

484822x★★(18)xcosdx ?21?cosx2x思路：先将cos降幂得，然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺

22解：xsinxcosxdx?序凑微分即可。

解：xcos?22x1111dx??(x2?x2cosx)dx??x2dx??x2cosxdx 222221312111x??xdsinx?x3?x2sinx??2xsinxdx62622

1111?x3?x2sinx??xdcosx?x3?x2sinx?xcosx??cosxdx6262??1312x?xsinx?xcosx?sinx?C 622(x??1)sin2xdx

★★(19)

思路：分项后对第一个积分分部积分。 解：(x?1)sin2xdx??21122xsin2xdx?sin2xdx?xd(?cos2x)?cos2x ???2211111??x2cos2x??2xcos2xdx?cos2x??x2cos2x??xdsin2x2222211111?cos2x??x2cos2x?xsin2x??sin2xdx?cos2x22222

12111??xcos2x?xsin2x?cos2x?cos2x?C224211313x??x2cos2x?xsin2x?cos2x?C??(xsin2x?)cos2x?sin2x?C.224222★★★(20)

xe?dx

3 22

思路：首先换元，后分部积分。 解：令t?33x，则x?t3,dx?3t2dt,

??exdx??et3t2dt?3?ett2dt?3?t2det?3t2et?3?2tetdt?3t2et?3?2tdet?3t2et?6ett?6?etdt?3t2et?6ett?6et?C ?33x2e★★★(21)

3x?6e3x3x?6e3x?C?3ex(3x2?23x?2)?C.32(arcsinx)dx ?思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：(arcsinx)dx?x(arcsinx)?x??22?2arcsinx1?x2dx

?x(arcsinx)2??arcsinx1?x2d(1?x2)?x(arcsinx)2?2?arcsinxd(1?x2)

?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2?1?x2?11?x2dx?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2?dx?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2x?C.★★★(22)

x2esinxdx ?思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：方法一：

x22xx2xesinxdx?sinxde?esinx?e???2sinxcosxdx

?exsin2x??exsin2xdx?exsin2xdx??sin2xde?esin2x??e2cos2xdx?esin2x?2?cos2xdexxxxx

?exsin2x?2excos2x?4?exsin2xdxex(sin2x?2cos2x) ??esin2xdx??C5exx2??esinxdx?(5sin2x?sin2x?2cos2x)?C5x方法二：

x2xesinxdx?e??1?cos2x1111dx??exdx??excos2xdx?ex??excos2xdx 22222 23

xxxxxx ecos2xdx?cos2xde?ecos2x?e2sin2xdx?ecos2x?2sin2xde?????excos2x?2exsin2x?4?excos2xdxex(cos2x?2sin2x) ??ecos2xdx??C5ex1x1x2??esinxdx??esin2x?excos2x?C2510x★★★(23)

?ln(1?x)xdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

ln(1?x)2xdx?ln(1?x)d(2x)=2xln(1?x)??x??1?xdx

令t?x，则dx?2tdt,

2xt21??dx?4?dt?4dt?4dt?4t?4arctant?C22?? 1?x1?t1?t?4x?4arctanx?C所以原积分

?ln(1?x)xdx?2xln(1?x)?4x?4arctanx?C。

ln(1?ex)★★★(24)?exdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

ln(1?ex)exx?x?xx?xdx??ln(1?e)d(?e)??eln(1?e)??edx 解：?xxe1?ee?x1?xx?x??eln(1?e)??dx??eln(1?e)?d(1?e)?x?x? 1?e1?e??e?xln(1?ex)?ln(1?e?x)?C.?xx1。 ?1?exdx的其他计算方法可参照习题4-2，2（33）

1?x★★★(25)xln?1?xdx

注：该题中

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

24

解：xln?1?x1?x12121?x121?x1?x?1?xdx??lnd(x)?xln??x?dx 21?x1?x221?x21?x(1?x)121?xx2121?x1?xln??dx?xln?dx?dx22??21?x1?x21?x1?x 121?x111121?x1?xln?x??(?)dx?xln?x???ln(1?x)?ln(1?x)?21?x21?x1?x21?x2121?x11?x11?xxln?x?ln?C?(x2?1)ln?x?C 21?x21?x21?x1?x注： 该题也可以化为 ?xlndx??x[ln(1?x)?ln(1?x)]dx再利用分部积分法计算。

1?x?1?xx2?xln1?xdx??x[ln(1?x)?ln(1?x)]dx??[ln(1?x)?ln(1?x)]d2

2x21?xx211x21?xxln??[?d]x?ln?dx ? 21?x?21?x?1x2?1x??12xx21?x1?x2?1x21?x111ln??dx?ln?dx?[?]d ? x2??21?x1?x21?x2?1x?1xx21?x11?xln?x?ln?C ?21?x2?1x★★★(26)

dx?sin2xcosx

dxsec2xdxdtanxdx??思路：将被积表达式 写成，然后分部积分即可。 22sinx2sinx2sinxcosxsin2xcosxdxdxsec2xdxdtanx????解：??2sinx

sin2xcosx2sinxcos2x?2sinxtanx1tanx1??tanx(?cscxcotx)dx??cscxdx2sinx22sinx2? 1?(secx?lncscx?cotx)?C.2?2、 用列表法求下列不定积分。

知识点：仍是分部积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍

然用一般方法解出，不用列表法。

★(1)

3xxe?dx

25

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第4章课后习题详解(6)在线全文阅读。