解：??11?xdx??11?xd(x?1)?21?x?C.
令f(x)?21?x?C，又f(0)?1，可知C??1，
?f(x)=21?x?1.
★★★5、设In??tannxdx,，求证：In?1tann?1x?In-2，并求?tan5xdx。 n?1nn?2思路:由目标式子可以看出应将被积函数tanx 分开成tanxtan2x，进而写成：
tann?2x(sec2x?1)?tann?2xsec2x?tann?2x，分项积分即可。
证明：In?tanxdx?(tan?n?n?2xsec2x?tann?2x)dx??tann?2xsec2xdx??tann?2xdx
??tann?2xdtanx?In?2?1tann?1x?In?2.n?1111 n?5时，I5??tan5xdx?tan4x?I3?tan4x?tan2x?I14421111?tan4x?tan2x??tanxdx?tan4x?tan2x?lncosx?C.4242习题4-3
1、 求下列不定积分：
知识点：基本的分部积分法的练习。 思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。
★（1）
?arcsinxdx
0思路:被积函数的形式看作xarcsinx，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数x优先纳入到微分
号下，凑微分后仍为dx。
0解：arcsinxdx?xarcsinx?x??11?x2dx?xarcsinx?112d(1?x) ?221?x?xarcsinx?1?x2?C.
★★（2）
?ln(1?x22)dx
思路：同上题。
2x2x22dx?xln(1?x)??dx 解：?ln(1?x)dx?xln(1?x)??x221?x1?x2 16
2(x2?1)?2dx2?xln(1?x)??dx?xln(1?x)?2dx?2??1?x2 1?x2?xln(1?x2)?2x?2arctanx?C.2★（3）
?arctanxdx
思路：同上题。
dx1d(1?x2)解：?arctanxdx?xarctanx??x ?xarctanx??1?x221?x21?xarctanx?ln(1?x2)?C
2x?2x★★(4)esindx ?2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：?e??2xxx11x11xsindx??sind(?e?2x)??e?2xsin??e?2xcosdx
222222221x1x1??e?2xsin??cosd(?e?2x)224221x11x1x??e?2xsin?(?e?2xcos??e?2xsindx)2242242
1x1x1x??e?2xsin?e?2xcos??e?2xsindx2282162x2e?2xxx?2x??esindx??(4sin?cos)?C.21722★★(5)
?x22arctanxdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
x313131dx 解：?xarctanxdx??arctanxd()?xarctanx??x3331?x2131x3?x?x131xdx ?xarctanx???xarctanx?(x?)dx 22?331?x331?x111x1312112?x3arctanx??xdx??dx?xarctanx?x?d(1?x)22?3331?x3661?x
13121?xarctanx?x?ln(1?x2)?C.366★(6)
xxcosdx ?2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
17
解：xcosdx?2xdsin ?2xsin★★(7)
?x2?xxxxxx?2xsin?2?sindx?2xsin?4?sind 222222xx?4cos?C. 22xdx
?xtan22思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：xtanxdx??222x(secx?1)dx?(xsecx?x)dx?xsecxdx??xdx ???11??xd(tanx)??xdx?xtanx??tanxdx?x2?xtanx?lncosx?x2?C.
22★★(8)
?ln22xdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：lnxdx?xlnx?x?2lnx?dx?xlnx?2lnxdx?xlnx?2xlnx?2x?dx
?2?1x2?2?1x?xln2x?2xlnx?2?dx?xln2x?2xlnx?2x?C.
★★(9)
?xln(x?1)dx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
x2121x2解：?xln(x?1)dx??ln(x?1)d?xln(x?1)??dx
222x?1121x2?1?1111dx?x2ln(x?1)??(x?1? ?xln(x?1)??)dx
22x?122x?1?12111xln(x?1)?x2?x?ln(x?1)?C 2422ln2x★★(10)?x2dx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
ln2x1121112lnx2解：?2dx??lnxd(?)??lnx??2lnx?dx??lnx?2?2dx
xxxxxxx11121122??ln2x?2?lnxd(?)??ln2x?lnx?2?2dx??ln2x?lnx??C
xxxxxxxx12 ??(lnx?lnx?2)?C
x★★(11)
?coslnxdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
18
解：?coslnxdx?xcoslnx?xsinlnx?dx?xcoslnx?sinlnxdx
??1x?1?xcoslnx?xsinlnx??xcoslnx?dx?xcoslnx?xsinlnx??coslnxdxx
x??coslnxdx?(coslnx?sinlnx)?C.2★★(12)
lnx?x2dx
思路：详见第(10) 小题解答中间，解答略。
★★(13)
?xnnlnxdx(n??1)
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
xn?11n?11n?11解：?xlnxdx??lnxd?xlnx??x?dx
n?1n?1n?1x?1n?1?1?1n?11nx?lnx?xlnx??xdx???C. n?1(n?1)n?1n?1??★★(14)
?xe2?x2?xdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：xedx??xe?2?x??e?x2xdx??x2e?x?2xe?x?2?e?xdx
??x2e?x?2xe?x?2e?x?C??e?x(x2?2x?2)?C
★★(15)
?x33(lnx)2dx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：x(lnx)dx?(lnx)d(x)??2?21441411x(lnx)2??x4?2lnx?dx 44x14111x(lnx)2??x3lnxdx?x4(lnx)2??lnxdx442481111111?x4(lnx)2?x4lnx??x4?dx?x4(lnx)2?x4lnx??x3dx 488x48811111?x4(lnx)2?x4lnx?x4?C?x4(2ln2x?lnx?)?C.483284?lnlnx?xdx
lnlnx思路： 将积分表达式dx写成lnlnxd(lnx)，将lnx看作一个整体变量积分即可。
xlnlnx111解：?dx??lnlnxd(lnx)?lnxlnlnx??lnx??dx?lnxlnlnx??dx
xlnxxx★★(16)
19
?lnxlnlnx?lnx?C?lnx(lnlnx?1)?C.
★★★ (17)
?xsinxcosxdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
11111xsin2xdx?xd(?cos2x)??xcos2x?cos2xdx ??22?244?1111??xcos2x??cos2xd2x??xcos2x?sin2x?C.
484822x★★(18)xcosdx ?2x1?cosx思路：先将cos2降幂得，然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺
22解：xsinxcosxdx?序凑微分即可。
解：xcos?22x1111dx??(x2?x2cosx)dx??x2dx??x2cosxdx 222221312111x??xdsinx?x3?x2sinx??2xsinxdx62622
13121312?x?xsinx??xdcosx?x?xsinx?xcosx??cosxdx6262??1312x?xsinx?xcosx?sinx?C 62★★(19)
?(x22?1)sin2xdx
思路：分项后对第一个积分分部积分。
解：(x?1)sin2xdx?xsin2xdx?sin2xdx?xd(?cos2x)???2??2121cos2x 211111??x2cos2x??2xcos2xdx?cos2x??x2cos2x??xdsin2x2222211111?cos2x??x2cos2x?xsin2x??sin2xdx?cos2x22222
12111??xcos2x?xsin2x?cos2x?cos2x?C224211313x??x2cos2x?xsin2x?cos2x?C??(xsin2x?)cos2x?sin2x?C.224222★★★(20)
xe?dx
3思路：首先换元，后分部积分。 解：令t?3x，则x?t3,dx?3t2dt,
20
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