1??sec2xdsecx??dsecx?sec3x?secx?C
3★★(28)
?10arccosx1?x2dx
思路:凑微分11?x2dx?d(?arccosx)。
10arccosxdarccosx???C.
ln10解：
?10arccosx1?x2dx???10dx2arccosx★★(29)
?(arcsinx)11?x21?x2 思路:凑微分dx?d(arcsinx)。
darcsinx1???C 2arcsinx(arcsinx)解：
?(arcsinx)?dx21?x2??★★★★(30)
arctanxx(1?x)arctanxx(1?x)dx
2arctanx1?(x)2思路:凑微分dx?dx?2arctanxd(arctanx)。
解：
?arctanxx(1?x)dx??2arctanx1?(x)2dx??2arctanxd(arctanx)
?(arctanx)2?C
★★★★(31)
lntanx?cosxsinxdx
2思路:被积函数中间变量为tanx，故须在微分中凑出tanx，即被积函数中凑出secx，
lntanxlntanxlntanx2lntanxdx?dx?secxdx?dtanx 2cosxsinxtanxtanxcosxtanx1?lntanxd(lntanx)?d((lntanx)2)
2lntanxlntanxlntanx解：?dx??dx??tanxdtanx??lntanxd(lntanx) cosxsinxcos2xtanx1?(lntanx)2?C 2 11
★★★★(32)
1?lnx?(xlnx)2dx
思路:d(xlnx)?(1?lnx)dx
解：
1?lnx11dx?d(xlnx)???C ?(xlnx)2?(xlnx)2xlnx★★★★(33)
dx?1?ex
x解：方法一：
思路:将被积函数的分子分母同时除以 e，则凑微分易得。
dxe?x11?x?x?x?dx??d(e)??d(e?1)??ln|e?1|?C ?1?ex?e?x?1?e?x?1?e?x?1方法二：
思路:分项后凑微分
dx1?ex?exex1x?dx?1dx?dx?x?d(1?e) ?1?ex?1?ex??1?ex?1?ex ?x?ln|1?e|?C?x?ln(e|e ?x?(lne?ln|e方法三：
思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 e，裂项后凑微分。
xx?xxx?x?1|)?C
?1|)?C??ln|e?x?1|?C
dxexdxdex1?x1?1xx????de?lne?d(1?e) ?xxxxxxx?x?????1?ee(1?e)e(1?e)1?e?e1?e? ?x?ln|1?e|?C??ln|e★★★★(34)
x?x?1|?C
dx?x(x6?4)
解：方法一:
思路：分项后凑积分。
dx14dx1x6?4?x6dx1?1x5??6?dx ?x(x6?4)?4?x(x6?4)?4?x(x6?4)?4??xx?4??11d(x6?4)11?ln|x|?ln|x6?4|?C ?ln|x|?6?424x?4424 12
方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。 令x?，则dx??1t1dt。 t2dxt11d(4t6)1d(4t6?1)?????(?2)dt??????661241?4t241?4t6x(x?4)t?4 t6114??ln(1?4t6)?C??ln(1?6)?C.2424x★★★★(35)
dx?x8(1?x2)
解：方法一:
思路：分项后凑积分。
dx1?x8?x8(1?x2)(1?x2)(1?x4)dx?dx?dx? 822?x8(1?x2)?x8(1?x2)??x(1?x)1?x1?x2?x4?x6dxdx? ?? 8?x(1?x)(1?x) ?( ???11111 ???)dx?2?1?xdxx8x6x4x211111?1x????ln?C 7537x5x3xx21?x方法二： 思路: 利用第二类换元法的倒代换。 令x?11，则dx??2dt。 ttdxt81t81642??8??(?dt)??dt??(t?t?t?1?)dt ?t2?1?1x(1?x2)?t2t2?11?2t1111642)dt??(t?t?t?1)dt?(?)dt?2?t?1t?1t2?11111t?1111111111?x??t7?t5?t3?t?ln||?C??????ln||?C7532t?17x75x53x3x21?x???(t6?t4?t2?1)dt??(3、求下列不定积分。
知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。
思路分析：题目特征是----被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等
式起到了重要的作用。
sin2x?cos2x?1;sec2x?tan2x?1.
为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角
13
范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。
★★★(1)
?1?dx1?x2
思路:令x?sint,t?解：令x?sint,t??2，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。
，则dx?costdt。 2dxcostdtdtdttt??????dt???t???t??sec2d
t1?cost1?cost221?1?x22cos22?1?1?x2tx?C） ?t?tan?C?arcsinx??C.（或?arcsinx?2x21?1?x（万能公式tantsint1?cost2，又sint?x时，cost?1?x） ??21?costsint★★★(2)
?x2?9dx x思路:令x?3sect,t?(0,解：令x?3sect,t?(0,?2)，三角换元。
?2)，则dx?3secttantdt。
x2?93tant??dx??3secttantdt?3?tan2tdt?3?(sec2t?1)dtx3sect
3?3tant?3t?C?x2?9?3arccos?C.|x|3 （x?3secx时，cosx?,sinx?x★★★(3)
x2?9,tanx?xx2?9） 3?dx(x?1)23
思路:令x?tant,t?解：令x?tant,t??22，三角换元。
2?，则dx?sectdt。
??sec2tdtdtx????costdt?sint?C??C 3??232sectsect(x?1)1?xdx★★★(4)
?dx(x?a)223 14
思路:令x?atant,t?解：令x?atant,t??2，三角换元。
2????2dxasec2tdtdt11??33??2?2?costdt?2sint?Casectasectaa(x2?a2)3，则dx?asectdt。
xa2
a?x22?C.dx
★★★★(5)
?xx2?1x?124思路:先令u?x，进行第一次换元；然后令u?tant,t??2，进行第二次换元。
1x2?1dx??dx2，令u?x2得： 解：??2x2x4?1xx4?1x2?1?x??x2?1x4?1dx?1u?1?2du，令，则du?sectdt， u?tant,t??2uu2?121u?11tant?11tant?12du?sectdt?sectdt???4222tant?sect2tantxx?1uu?1111??(csct?sect)dt?lnsect?tant?lncsct?cott?C222dx?11?lnu2?1?u?ln22u2?111??C?lnuu21x?1?x?ln242x2?1
x4?1?1?C.2x（与课本后答案不同）
★★★(6)
?5?4x?x2dx
思路:三角换元，关键配方要正确。
解：?5?4x?x?9?(x?2)，令x?2?3sint,t?22?2，则dx?3costdt。
??5?4x?x2dx??9cos2tdt?9?1?cos2tt1dt?9(?sin2t)?C2249x?2x?2?arcsin?5?4x?x2?C.232★★4、求一个函数
f(x),满足f'(x)?11?x，且
f(0)?1。
思路:求出11?x的不定积分，由条件
f(0)?1确定出常数C 的值即可。
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