解：令t?x，x?t2,dx?2tdt;
??1?(x)31?(t)3dx??2tdt?2?(t2?t?1)tdt?2?(t3?t2?t)dt1?t1?x
31212?t4?t3?t2?C?x2?x2?x?C.2323★★(11)
x?1?1?1?x?1dx
思路：变无理式为有理式，变量替换t?解：令t?x?1。
x?1，则x?1?t2,dx?2tdt;
x?1?1t?1t2?tt2?t2??dx??2tdt?2?dt?2?dt?2?(t?2?)dt1?t1?t1?t1?t1?x?11?2?tdt?4?dt?4?dt?t2?4t?4lnt?1?C?x?4x?1?4ln(x?1?1)?C1?t★★★(12)
?dx4x?x
思路：变无理式为有理式，变量替换t?解：令t?88x。
x,x?t8,dx?8t7dt;
??4dx8t7t5t5?t3?t3?t?tt3??24dt?8?dt?8dt?8(t?t?)dt??t?t1?t21?t21?t2 x?x?2t4?4t2?4ln(1?t2)?C?2x?44x?4ln(1?4x)?C★★★(13)
?x3dx1?x2
思路：变无理式为有理式，三角换元。 解：令x?tant,t??2,则dx?sec2tdt.
tan3t????sec2tdt??tan3tsectdt??tan2tdsect??(sec2t?1)dsectsect1?x2
11?sec3t?sect?C?31?x2?1?x2?C.33★★★(14)
x3dx?a?xdx a?x 41
思路：将被积函数a?xa?x 变形为a?xa?x22后，三角换元。
解：令x?asint,t??2;则dx?acostdt；
??a?xa?xa?asintdx??dx??acostdt?a?(1?sint)dt22a?xacosta?x
x?at?acost?C?aarcsin?a2?x2?C.aa?xa?xaxdx??dx??dx??dx
222222a?xa?xa?xa?x注： 另一种解法，分项后凑微分。
? ??axa1?()2adx?11x2222d(a?x)?aarcsin?a?x?C ?222aa?x★★★(15)
?dx3(x?1)(x?1)24
思路：换元。 解：令
?2x?1dx?dt. ?t，则
(x?1)2x?1dxdx111?2313??????(?)dt???tdt??t3?C323222x?1(x?1)2(x?1)4t223()(x?1) x?1??33x?1?C.2x?1
总习题四
★1、设
f(x)的一个原函数是e?2x，则f(x)?(?2x).
?2x (A) e (B) -2e?2x (C) -4e (D) 4e?2x
知识点：原函数的定义考察。 思路分析：略。 解：(B)。
★2、设
?xf(x)dx?arcsinx?C，则?dx? 。 f(x)知识点：原函数的定义性质考察。
42
思路分析：对条件两边求导数后解出f(x)后代入到要求的表达式中，积分即可。 解：对式子xf(x)dx?arcsinx?C两边求导数得：
?x1?x2
dx111????x1?x2dx??1?x2dx2???1?x2d(1?x2)??(1?x2)3?Cf(x)223★★3、设
xf(x)?11?x2,?f(x)?1,?1?x1?x2;f(x)x2，且f(?(x))?lnx，求??(x)dx。 f(x?1)?ln2x?22知识点：函数的定义考察。
思路分析：求出f(x)后解得?(x)，积分即可。
x2x2?1?1t?1?(x)?1?ln2,?f(t)?ln,?f(?(x))?ln, 解：?f(x?1)?ln2t?1?(x)?1x?2x?1?12又?f(?(x))?lnx,??(x)?1x?1=x,??(x)?;
?(x)?1x?1???(x)dx??x?12dx??(1?)dx?x?2lnx?1?C x?1x?1f(x)的原函数，当x>0时，有f(x)F(x)?sin22x，且F(0)?1， F(x)?0★★★4、设F(x)为
试求
f(x)。
知识点：原函数的定义性质考察。
思路分析：注意到dF(x)?f(x)dx，先求出F(x)，再求f(x) 即可。
?f(x)F(x)dx?sin2xdx 解：?f(x)F(x)?sin2x；2??21222F(x)dF(x)?sin2xdx,?(F(x))?sin???2xdx, 21?(F(x))2?2?sin22xdx??(1?cos4x)dx?x?sin4x?C;
412又F(0)?1,?C?1;?(F(x))?x?sin4x?1;(x?0.)
4即又F(x)1?0,?F(x)?x?sin4x?1,
42又
f(x)F(x)?sin2x,?f(x)?sin22x。
1x?sin4x?14 43
5、求下列不定积分。
知识点：求不定积分的综合考察。 思路分析：具体问题具体分析。
★★(1)
?x2?5xdx
思路：变无理式为有理式，变量替换t?2?5x。
2?t22t解：令t?2?5x，则x?,dx??dt,
552?t22t2221??x2?5xdx??t?(?dt)???(2t2?t4)dt??(t3?t5)?C55252535
4230x?8??(2?5x)3?(2?5x)5?C??(2?5x)3?C.75125375★(2)
?xdxx?12(x?1)
思路：变无理式为有理式，变量替换x?sect。 解：令x?sect,0?t??2，则dx?secttantdt。
??dxxx2?1??secttant1dt??dt?t?C?arccos?C
secttantx2x3x★★★(3)?9x?4xdx
2x2x()xxx2333思路：将被积函数x 变为=xx2x29?4221?[()]1?(x)33解：令t?()，则dt?()ln后换元或凑微分。
23x23x2dx。 32()x231dt1113??xdx?dx??(?)dt?2x2ln2?ln3?1?t22(ln3?ln2)?t?1t?19?4x1?[()]3
2x()?11t?11?ln?C?ln3?C.2x2(ln3?ln2)t?12(ln3?ln2)()?13xx 44
13x?2xlnx?C ?x2(ln3?ln2)3?2x2★★(4)?a6?x6dx(a?0)
思路：凑微分。
x21111333dx?dx?dx,令t?x, 解：??6666632??3a?x3a?(x)a?x x2111111t?a3??6dx??322dt??3?(?)dt??3ln?C6333a?x3(a)?t6at?at?a6at?a
1x3?a31x3?a3??3ln3?C?3ln3?C. 336ax?a6ax?a★★(5)
?dxx(1?x)
思路：将被积函数进行配方后换元或先凑微分再换元。 解：方法一：??dxx(1?x)??dx11(x?)2?()222
令x???11?1?sect,0?t?,，则dx?secttantdt; 22221secttantdx2??dt??sectdt?lnsect?tant?C
1x(1?x)tant2?ln2x?1?2x2?x?C.
方法二：??dxx(1?x)dxx(1?x)?2??2?dx1?xdt1?t2?2?;
dx1?(x)2 令t?x，??再令t?tanz,z??2，则dt?sec2zdz,
45
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