中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第4章课后习题详解

高等数学一第4章课后习题详解

习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1)

?xdx2x

思路: 被积函数 1x2x?52?x?52，由积分表中的公式（2）可解。

解：

?xdx22???xdx??x2?C

3x3★(2)

3(?x?1x)dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：(x?★(3)（2?313)dx??(x?x)dx??xdx??xdx?x3?2x2?C

4x??1312131241?x?x2）dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

2x13（2?x）dx??2dx??xdx??x?C 解：?ln23x2x2★(4)

?x(x?3)dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：

?2x(x?3)dx??xdx?3?xdx?x2?2x2?C

53212533x4?3x2?1★★(5)?x2?1dx

3x4?3x2?112?3x?思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积22x?1x?1分。

3x4?3x2?112dx?3xdx?dx?x3?arctanx?C 解：?22??x?11?x 1

x2★★(6)?1?x2dx

x2x2?1?11思路:注意到??1?1?x21?x21?x2，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

x21解：?dx?dx?dx?x?arctanx?C. 22??1?x1?x注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)（?x134-+3-4）dx 2xxx思路:分项积分。 解：（-x13411+-）dx?xdx?dx?3?x?3dx?4?x?4dx ?2xx3x4??2x134?x2?ln|x|?x?2?x?3?C. 42332(??1?x21?x2)dx

★(8)

思路:分项积分。 解：(?3211?)dx?3dx?2dx?3arctanx?2arcsinx?C. 2??221?x21?x1?x1?x★★(9)

?xxxdx

111??248思路:xxx?？看到xxx?x解：

?x78，直接积分。

?8xxxdx??xdx?x8?C.

157815★★(10)

1?x2(1?x2)dx

思路:裂项分项积分。 解：

111111dx?(?)dx?dx?dx???arctanx?C. ?x2(1?x2)?x21?x2?x2?1?x2xe2x?1dx ★(11)?xe?1e2x?1(ex?1)(ex?1)dx??dx??(ex?1)dx?ex?x?C. 解：?xxe?1e?1 2

★★(12)

xx3?edx

思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然3e?（3e）。

x（3e）解：?3edx??（3e）dx??C.

ln(3e)xxx2cot?xdx

xxx★★(13)

思路:应用三角恒等式“cotx?cscx?1”。 解：cotxdx?(cscx?1)dx??cotx?x?C

22?2?22?3x?5?2x★★(14)?3xdx

思路:被积函数

2?3x?5?2x2x?2?（5），积分没困难。

3x32x()2?3x?5?2x2x3解：?dx??（2?（5））dx?2x?5?C. x33ln2?ln32x★★(15)cos?2dx

思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。

x1?cosx11d?dx?x?sinx?C. ?2?2221★★(16)?1?cos2xdx

解：cos2思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。

11112dx?dx?secxdx?tanx?C. ?1?cos2x?2cos2x2?2cos2x★(17)?cosx?sinxdx

解：

思路:不难，关键知道“cos2x?cosx?sinx?(cosx?sinx)(cosx?sinx)”。

22cos2x?cosx?sinxdx??(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?C.

cos2x★(18)?cos2x?sin2xdx

解：

思路:同上题方法，应用“cos2x?cosx?sinx”，分项积分。

22cos2xcos2x?sin2x11dx?dx?dx?解：??cos2x?sin2x?sin2x?cos2xx

cos2x?sin2x 3

??csc2xdx??sec2xdx??cotx?tanx?C.

★★(19)

?(1?x1?x?)dx 1?x1?x1?x1?x1?x1?x2????1?x1?x1?x21?x21?x2，应用公式(5)即可。

思路:注意到被积函数

解：(?1?x1?x1?)dx?2?dx?2arcsinx?C.

21?x1?x1?x1?cos2x★★(20)?1?cos2xdx

思路:注意到被积函数

1?cos2x1?cos2x121，则积分易得。 ??secx?1?cos2x222cos2x1?cos2x11tanx?x解：?dx??sec2xdx??dx??C.

1?cos2x222★2、设

?xf(x)dx?arccosx?C，求f(x)。

d[?f(x)dx]?f(x)即可。 dx知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：解：等式两边对x求导数得：

xf(x)??★3、设

11?x2,?f(x)??1x1?x2

f(x)的导函数为sinx，求f(x)的原函数全体。

知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。

解：由题意可知，f(x)?sinxdx??cosx?C1

所以

?（?cosx?C1）dx??sinx?C1x?C2。 f(x)的原函数全体为：?ex12xxx★4、证明函数e,eshx和echx都是的原函数

chx-shx2知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：只需验证即可。

exd1dd?e2x，而[(e2x)]?[exshx]?[exchx]?e2x 解：?chx?shxdx2dxdx 4

★5、一曲线通过点(e2,3)，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。

知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积

函数的关系。

思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为y?f(x)，由题意可知：

又点(e2d1[f(x)]?，?f(x)?ln|x|?C； dxx,3)在曲线上，适合方程，有3?ln(e2)?C,?C?1，

所以曲线的方程为

f(x)?ln|x|?1.

★★6、一物体由静止开始运动，经秒后的速度是3tt2(m/s)，问：

（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2） 物体走完360米需要多少时间？

知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的

关系。

思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：y?f(t)，

则由速度和位移的关系可得：

d[f(t)]?3t2?f(t)?t3?C， dtf(0)?0,?C?0,?f(t)?t3。

又因为物体是由静止开始运动的，?(1)

3秒后物体离开出发点的距离为:f(3)?33?27米；

3(2)令t?360?t?3360秒。

习题4-2

★1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。

思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：(1)dx?111d(7x?3);(2)xdx??d(1?x2);(3)x3dx?d(3x4?2); 72121dx1dx1d(e2x);(5)?d(5ln|x|);(6)??d(3?5ln|x|);2x5x5

1dx1dx1(7)dt?2d(t);(8)?d(tan2x);(9)?d(arctan3x).223cos2x21?9xt(4)e2xdx?2、求下列不定积分。

知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形

式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！

5

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第4章课后习题详解在线全文阅读。