中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第4章课后习题详解(5)

??sec2z?2?dz?2?seczdz?2lnsecz?tanz?Cseczx(1?x) dx?2ln1?x?x?C?ln2x?1?2x2?x?C.dx?x(2?x10)

★★★(6)

思路：倒代换！

解：令x?，，则dx??1t1dt, 2tdxt1t91dt101d(2t10?1)???(?2dt)???10dt???10???x(2?x10)?2?1t2t?1102t?1202t10?1 t1011x1010??ln(2t?1)?C?ln(10)?C.2020x?2★★★★(7)

7cosx?3sinx?5cosx?2sinxdx

思路：大凡被积函数的分子分母皆为同一个角的正余弦函数的线性组合的形式的积分，一般思路是将被积

函数的分子写成分母和分母的导数的线性组合的形式，然后分项分别积分即可。

解：?7cosx?3sinx?5cosx?2sinx?(5cosx?2sinx)?

??7cosx?3sinx5cosx?2sinx?(5cosx?2sinx)?dx??dx5cosx?2sinx5cosx?2sinx(5cosx?2sinx)?d(5cosx?2sinx) ??[1?]dx??dx??5cosx?2sinx5cosx?2sinxd(5cosx?2sinx)??dx???x?ln5cosx?2sinx?C.5cosx?2sinxex(1?sinx)★★★★(8) ?1?cosxdx

思路：分项积分后对前一积分采用分部积分，后一积分不动。

ex(1?sinx)exexsinxdx??(?)dx??(解：??1?cosx1?cosx1?cosxexx?extan)dx x22cos22

exxxxxdx??extandx??exsec2d??extandxx22222cos22xxxxx??exdtan??extandx?extan??extandx??extandx22222x?extan?C.2?? 46

f(x)f2(x)f??(x)★★★★6、求不定积分：[?f?(x)?f?3(x)]dx

知识点：分部积分法考察兼顾凑微分的灵活性。

思路分析：分项后，第二个积分显然可凑现成的微分，分部积分第二个积分，第一个积分不动，合并同

种积分，出现循环后解出加一个任意常数即可。

f(x)f2(x)f??(x)f(x)f2(x)f??(x)?]dx??dx??dx 解：?[33f?(x)f?(x)f?(x)f?(x)而

?f2(x)f??(x)f2(x)f2(x)f2(x)dx??3df?(x)?3f?(x)??f?(x)d(3) 3???f(x)f(x)f(x)f?(x)f2(x)2f(x)f?4(x)?3f?5(x)f??(x)f2(x)?2??f?(x)dx f?(x)f?6(x)f2(x)f(x)f2(x)f??(x)?2?2?dx?3?dx 3???f(x)f(x)f(x)f(x)f2(x)f??(x)f2(x)f(x)f2(x)f??(x)??[?]dx??2?3?[?]dxf?(x)f?(x)f?3(x)f?(x)f?3(x)f(x)f2(x)f??(x)1f2(x)??[?]dx??C.32f?(x)2f?(x)f?(x)★★★★7、设In

??tannxdx，(n?1)，求证：In?n15，并求?tanxdx。 tann?1x?In?2，n?1n?2知识点：分部积分法考察，三角恒等式的应用，凑微分等。 思路分析：由要证明的目标式子可知，应将tanx分解成tanxtan2x，进而写成

tann?2x(sec2x?1)，分部积分后即可得到In?2。

证明：In?tanxdx?tan?n?n?2xtan2xdx??tann?2x(sec2x?1)dx

??tann?2xdtanx??tann?2xdx???tan5xdx?I5?1tann?1x?In?2。 n?1111tan4x?I3?tan4x?(tan2x?I1)442

1111?tan4x?tan2x??tanxdx?tan4x?tan2x?lncosx?C4242★★★8、

?1?xdx?(B). 1?x思路：化无理式为有理式，三交换元。

47

解：?1?x1?x??，令x?sint,t?，则dx?costdt。

21?x21?x??1?x1?x1?sintdx??dx??costdt??(1?sint)dt?t?cost?C21?xcost 1?x?arcsinx?1?x2?C.★★★9、设不定积分I1??1?xx，若，则有(D)。 dxu?xexx(1?xe)x思路：u=xe，提示我们将被积函数的分子分母同乘以e后再积分。

x1?xex(1?x)dx??xdx 解：?I1??x(1?xex)ex(1?xex)又?du?(ex?xex)dx?ex(1?x)dx;

?I1??du?I2,选(D)。

u(1?u)10、求下列不定积分:

知识点：求无理函数的不定积分的综合考察。

思路分析：基本思路——将被积函数化为有理式。

★★★★(1)、

?xdx1?x4.

思路：先进行倒代换，在进行三角换元 。 解：令x?11，则dx??2dt。 tt4??dxx1?x??1t1dt2(?2dt)???dt???421?t41t1?t1?4tt

令t2?tanu,0?u??2，则dt2?sec2udu。

1dt21sec2udu1???????????secudu21?t42secu2x1?x4

2111x??lnsecu?tanu?C??ln(1?t4?t2)?C?ln()?C42221?1?xdx11?x4?1)?C ?ln(22x 48

★★★(2)、

?xx?12x?12dx.

思路：进行三角换元，化无理式为有理式。

2x?11?sect1?sect??dx??secttantdt?dt??(cost?1)dt2?22secttantsectxx?11?t?sint?C?arccos?xx?1?C?x2解：令x?sect,0?t??，则dx?secttantdt,

x?11?arcsin?C.xx2注： (arccos)??(?arcsin)?

1x1x★★★(3)、

?xx?221?x2dx.

思路：进行三角换元，化无理式为有理式。 解：令x?sint,0?t??2，则dx ?costdt；??x?2x21?x2dx??sint?212costdt?(?)dt??csctdt?2?csc2tdt22?sintcostsintsint11?x21?x???C.xxx22

?lncsct?cott?2cott?C?lndx2★★★★★(4)、

?(1?x)1?x2.

思路：进行三角换元，化无理式为有理式。 解：令x?sint,0?t??2，则dx ?costdt；costdtdtdtsec2tdt??????????222222(1?sint)cost1?sintcost?2sint1?2tan2t(1?x)1?xdx?2d(2tant)222x?arctan(2tant)?C?arctan()?C.?2221?(2tant)221?x

★★★(5)、

?xdx4?x2.

思路：进行三角换元，化无理式为有理式。 解：令x?2sint,0?t??2，则dx ?2costdt； 49

??dxx4?x2??2costdtdt11????csctdt?lncsct?cott?C2sint2cost2sint222124?x1?ln??C?ln2xx211、求下列不定积分:

4?x?2?C.x2

知识点：较复杂的分部积分法的考察。

思路分析：基本思路——严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分。

★★★(1)、

2ln(x?1?x)dx ?思路：分部积分。

解：ln(x?1?x)dx?xln(x?1?x)??22?x?x1?x22(1?x1?x2)dx

1dx2?xln(x?1?x)??dx?xln(x?1?x)??221?x21?x

21d(x?1)?xln(x?1?x2)???xln(x?1?x2)?1?x2?C21?x22x★★(2)、

2ln(1?x)dx ?思路：分部积分。

2x22(x2?1)?22dx?xln(1?x)??dx 解：?ln(1?x)dx?xln(1?x)??1?x21?x222?xln(1?x2)?2?dx?2?★★★★(3)、

1dx?xln(1?x2)?2x?2arctanx?C。 21?x4xtanxsecxdx ?思路：分部积分。

解：?xtanxsecxdx?xsecxdsecx?xsecx?secx(secx

?4?34?3?3xsec3xtanx)dx?xsec4x??sec4xdx?3?xtanxsec4xdx?xsec4x??(tan2x?1)dtanx?3?xtanxsec4xdx1?xsec4x?tan3x?tanx?3?xtanxsec4xdx3111??xtanxsec4xdx?xsec4x?tan3x?tanx?C.4124x2★★★(4)、?1?x2arctanxdx

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