高三数学一轮专题突破训练《立体几何》（理）及答案(5)

因为 AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?AB?A，

所以PA?平面ABCD. ………………9分

（Ⅲ）解：分别以边AD,AB,AP所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由

AB?AD?AP?2CD?2得A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,1,0)，D(2,0,0)，P(0,0,2)，则

uuuruur，PB?(0,2,?2). AC?(2,1,0)

由（Ⅱ）得：PA?平面ABCD.

r所以 平面ABCD的一个法向量为n?(0,0,1). ………………10分

uuuruuruuuruuuruurPM??(0???1)，即PM??PB.所以 AM?AP??PB?(0,2?,2?2?). 设PBur设平面AMC的法向量为m?(x,y,z)，则

uruuur??m?AC?0,?2x?y?0,即? ruuur?u??m?AM?0,?2??y?(2?2?)?z?0.令x???1，则y?2?2?，z??2?.

ur所以 m?(??1,2?2?,?2?). ………………12分

因为 二面角B?AC?M的余弦值为

2， 3所以 |2?|9?2?10??5?12，解得??.

23所以

1PM的值为. ………………14分

2PB9、（Ⅰ）证明：因为平面ABEF?平面ABCD，ED?AB．

21

所以ED?平面ABCD ………………1分 又因为BC?平面ABCD，所以ED?BC． ………………2分 在直角梯形ABCD中,由已知可得

BC2=8，BD2=8，CD2=16，所以，CD 2=BC2+BD2 ，所以，BD?BC ……………4分

又因为ED?BD=D，所以BC?平面BDE． ……………5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D?xyz ……6分 则D?0,0,0?A?2,0,0?,E?0,0,2?,B?2,2,0?,F?2,0,2? z E …………7分

F D x A B ????????EF??2,0,0?,EB??2,2,?2?设P?0,y,z?，则y?z

?令n??x?,y?,z??是平面BEF的一个法向量，

???????n?EF?0则????? ??n?Eb?0C y ?x??0??2x??0?所以?，令y??1，得?y??1所以n??0,1,1?…………9分

?2x??2y??2z??0?z??1?因为AP与平面BEF所成的角等于30，

????所以AP与n?(0,1,1)所成的角为60或120

?????AP?n?????y?z1所以cos?AP,n?????????AP?n4?y2?z2?22所以y?z?4yz?4?0???(*)

22………11分

又因为y?z，所以y?z或y??z ………12分 当y??z时，（*）式无解 当y?z时，解得：y?z??6 ………13分

3

所以，P(0,10、

6666,)或P(0,?,?). ………14分 333322

11、解：(Ⅰ)连接FN,在?PAC中，F,N分别为PA,PC中点，所以FN//AC,

因为FN?平面DEF,AC?平面DEF, 所以AC//平面DEF …………………4分

(Ⅱ)如图以D为原点，分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系

23

D?xyz. …………………5分

????????则P(0,0,2),B(1,1,0),C(0,2,0),所以PB?(1,1,?2),BC?(?1,1,0).

??????????m?PB?(x,y,z)?(1,1,?2)?0, 设平面PBC的法向量为m?(x,y,z),则?????????m?BC?(x,y,z)?(?1,1,0)?0???x?y?2z?0?x?x, 解得?, 即?????x?y?0?z?2x

?x?1???令x?1，得 ?y?1, 所以m?(1,1,2). …………………7分

??z?2?因为平面ABC的法向量n?(0,0,1),

??????n?m2所以cosn,m?????，

2n?m由图可知二面角A?BC?P为锐二面角， 所以二面角A?BC?P的大小为(Ⅲ) 设存在点Q满足条件.

?. …………………9分 4????????12由F(,0,),E(0,2,2). 设FQ??FE(0???1)，

22????1??2(1??)1??2(1??),2?,)，BQ?(?,2??1,),…………………11分 整理得 Q(2222?因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为，

6?????????????BQ?m|5??1|1?， …………………13分 所以 sin?|cosBQ,m|?|??????|?6BQ?m219?2?10??722则??1,由0???1知??1，即Q点与E点重合.

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故在线段EF上存在一点Q，且|FQ|?|EF|?19. …………………14分 212、（Ⅰ）证明：

在?PBC中，因为点E是PB中点，点F是BC中点，

所以EF//PC．

又因为EF?平面PAC，PC?平面PAC， 所以EF//平面PAC．……………..4分 （Ⅱ）证明：

因为底面ABCD是正方形，所以BC?AB．

又因为侧面PAB?底面ABCD，平面PAB?平面ABCD=AB， 且BC?平面ABCD， 所以BC?平面PAB．

由于AE?平面PAB，所以BC?AE．

由已知PA?AB，点E是PB的中点，所以AE?PB． 又因为PB?BC=B，所以AE?平面PBC.

因为PF?平面PBC，所以AE?PF．……………..9分 （Ⅲ）点F为边BC上靠近B点的三等分点．

因为PA?AB，PB?2AB，所以PA?AB．

zP E A F D xC B y 由（Ⅱ）可知，BC?平面PAB.又BC//AD, 所以AD?平面PAB，即AD?PA，AD?AB . 所以AD，AB，AP两两垂直．

分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系（如图）. 不妨设AB?2，BF?m，则

A(0,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)， E(0,1,1)，F(m,2,0).

????????于是AE?(0,1,1)，AF?(m,2,0).

设平面AEF的一个法向量为n?(p,q,r)，

??????q?r?0, ?n?AE?0,由???? 得? 取p?2，则q??m，r?m， ??mp?2q?0.??n?AF?0,得 n?(2,?m,m)．

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