高三数学一轮专题突破训练《立体几何》（理）及答案(3)

参考答案

一、选择、填空题 1、C

解析：过P点做AB的垂线交于D

S?ABC?1?2?2?22S?PBC?S?PAC?15 ?5?1?22BC?5, PC?1,PB?PA?6?PD?5 S?PAB?表面积为S?2?2?1?2?5?5 25?5?2?25 22、D（S2?S3且S1≠S3）

D?ABC在xOy平面上的投影为△ABC，故S1?2，

设D在yOz和zOx平面上的投影分别为D2和D3，则D?ABC在yOz和zOx平面上的投影分别1，2，D31，0，2． 为△OCD2和△OAD3．∵D20，????

故S2?S3?2．综上，选项D正确． 3、答案：25 5解析：过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1，交B1C1于点E1，

连接D1E1，过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1，交D1E1于点H， P点到直线CC1的距离就是C1H，

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故当C1H垂直于D1E1时，P点到直线CC1距离最小， 此时，在Rt△D1C1E1中，C1H⊥D1E1，D1E1·C1H＝C1D1·C1E1，∴C1H＝225 ?554、答案：

5、D 6、D 7、C 8、D

9、答案：A

解析：几何体为正方体切去右后上方的一个角之后得到的几何体. 10、C 11、A 12、B 13、A 14、D 15、B

二、解答题 1、解析:

(Ⅰ）因为?AEF是等边三角形，O为EF的中点． 所以AO?EF．

又因为平面AEF?平面EFCB， AO?平面AEF．

所以AO?平面EFCB所以AO?BE． （Ⅱ）取BC的中点G，连接OG． 由题设知EFCB是等腰梯形． 所以OG?EF．

由(Ⅰ）知AO?平面EFCB， 又OG?平面EFCB， 所以OA?OG．

如图建立空间直角坐标系O?xyz．

12

则

E(a,0,0)，

A(0,0,3a)，

B(2,3(2?a),0)，

EA?(?a,0,3a)，

BE?(a?2,3(a?2),0)．

设平面AEB的法向量为n?(x,y,z)，

????ax?3az?0,?n?EA?0,则? 即?令z?1，则x?3，y??1．

???(a?2)x?3(a?2)y?0.?n?BE?0,于是n?(3,?1,1)．

平面AEF的法向量p?(0,1,0)．

所以cos?n,p??n?p5??．

|n||p|55． 5由题知二面角F?AE?B为钝角，所以它的余弦值为?（Ⅲ）因为BE?平面AOC，所以BE?OC，即BE?OC?0． 因为BE?(a?2,3(a?2),0)，OC?(?2,3(2?a),0)，

2所以BE?OC??2(a?2)?3(a?2)． 由BE?OC?0及0?a?2，解得a?4． 32、⑴证明：?AM∥ED，AM?面PED，ED?面PED.

?AM∥面PED.

?AM?面ABF，即AB?面ABF 面ABF?面PDE?FG ?AB∥FG.

⑵如图建立空间直角坐标系A?xyz，各点坐标如下

PzA?0,0,0?,E?0,2,0?,B?1,0,0?,C?2,1,0?,F?0,1,1?,P?0,0,2?

?????设面ABF的法向量为n??x0,y0,z0?，AB??1,0,0?， ????AF??0,1,1?

AFEGHyDBCMx???????n?AB?0?x?0?y?1，即，令，?n??0,1,?1? ???????y?z?0???n?AF?013

?????????又?BC??1,1,0?，?sinBC,n?直线BC与平面ABF所成的角为

1? 2?221π. 6????????设H?x1,y1,z1?，由PH?tPC，则?x1,y1,z1?2??t?2,1,?2?

?x1?2t???y1?t?H?2t,t,2?2t? ?z?2?2t?1????又?H?面ABF，BH??2t?1,t,2?2t? ??????n?BH?0

?t?2t?2?0，?t??????424?2?422?，?H?,,?，?PH??,,?? 3?333??333?222?????4??2??4??PH???????????2

?3??3??3?3、解：(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC. (2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.

由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．

设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，

??????n?A1B?0,?3y?4z?0,则?????即? ??4x?0.??n?AC11?0,令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．

同理可得，平面B1BC1的法向量为m＝(3,4,0)． 所以cos〈n，m〉＝

n?m16?.

|n||m|2516. 25

由题知二面角A1－BC1－B1为锐角， 所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为

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?????????(3)设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且BD＝λBC1，

所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)． 解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.

????所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)． ????????9??由AD·A＝0，即9－25λ＝0，解得. B1259因为∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.

25BD9此时，. ???BC1254、

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