高三数学一轮专题突破训练《立体几何》（理）及答案(4)

5、（Ⅰ）证明：连接CD与AF相交于H，则H为CD的中点，连接HG．

因为G为DE的中点， 所以HG∥CE．

因为CE?平面AGF，HG?平面AGF，

所以CE∥平面AGF． ………4分

?（Ⅱ）证明：BE?1，GE?2，在△GEB中，?GEB?60，BG?3．

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因为BG?BE?GE， 所以GB?BE．

因为侧面BEFC?侧面ADEB，

侧面BEFC?侧面ADEB?BE，

222GB?平面ADEB，

所以GB?平面BEFC． ………8分

（Ⅲ）解：BG,BE,BC两两互相垂直，建立空间直角坐标系B?xyz．

假设在线段BC上存在一点P，使二面角P?GE?B为45． 平面BGE的法向量m?(0,0,1)，设P(0,0,?),??[0,1]．

?zCPHBEGAyFxDG(3,0,0),E(0,1,0)．

????????所以GP?(?3,0,?)，GE?(?3,1,0)．

??????n?GP?0,设平面PGE的法向量为n?(x,y,z)，则???? ???n?GE?0.???3x??z?0,所以?

???3x?y?0.令z?1，得y??，x??3，

所以PGE的法向量为n?(因为m?n?1， 所以1??3,?,1)．

?23??2?1?332??0,1?，故BP?． ?1，解得??222?因此在线段BC上存在一点P，使二面角P?GE?B为45，

17

且BP?3. ………14分 26、（I）证明： ?AC?BC,M是AB的中点?CM?AB． 又?EA?平面ABC，CM?EA． ?EA?AB?A?CM?平面AEM

∴CM?EM ……………4分

（Ⅱ）以M为原点，分别以MB,MC为x，y轴，如图建立坐标系M-xyz， 则M(0,0,0),C(0,2,0),B(2,0,0),D(2,0,2),E(-2,0,1)

?????????????????ME=(-2.0.1),MC=(0,2,0),BD=(0,0,2),BC=(-2,2,0)

?????2x1?z1?0设平面EMC的一个法向量m=(x1,y1,z1)，则?

??2y1?0??取x1?1,y1?0,z1?2所以m?(1,0,2)

???2x2?2y2?0?设平面DBC的一个法向量n=(x2,y2,z2)，则?

??2y2?0?取x1?1,y1?1,z1?0，所以n?(1,1.0) cosm,n?m?nmn?12?3?6 66. ……………9分 6所以平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值

????????（Ⅲ）设N(x,y,z)且DN??DC,0???1

?（x?2,y,z?2)??(?2,2,?2),x?2?2?,y?2?,z?2?2?

?????MN?(2?2?,2?,2?2?)

若直线MN与平面EMC所成的角为60，则

0cosMN,m?解得：??2?2??2?2?2??32?1????2?2?4?1???22?sin600?3 21，所以符合条件的点N存在，为棱DC的中点. ………………14分 218

7、解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．

因为PA//BE，且PA?4，BE?2， 所以BE//AG且BE?AG， 所以四边形BEGA为平行四边形． 所以EG//AB，且EG?AB．

因为正方形ABCD，所以CD//AB，CD?AB， 所以EG//CD，且EG?CD． 所以四边形CDGE为平行四边形． 所以CE//DG．

因为DG?平面PAD，CE?平面PAD，

所以CE//平面PAD． ……………………4分 （Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B(4,0,0)，C(4,4,0)， PGEADBCzPE(4,0,2)，P(0,0,4)，D(0,4,0)，

????????所以PC?(4,4,?4)，PE?(4,0,?2)， ????PD?(0,4,?4)．

??设平面PCE的一个法向量为m?(x,y,z)，

????????m?PC?0?x?y?z?0所以??????． ?????m?PE?0?2x?z?0EADyBxC?x?1???令x?1，则?y?1，所以m?(1,1,2)．

?z?2?设PD与平面PCE所成角为?，

????????????m?PD????则sin??cos?m,PD?????PDm?43?． 66?423． ……………………9分 6所以PD与平面PCE所成角的正弦值是????????（Ⅲ）依题意，可设F(a,0,0)，则FE?(4?a,0,2)，DE?(4,?4,2)．

?设平面DEF的一个法向量为n?(x,y,z)，

???????n?DE?0?2x?2y?z?0??则?????． ???n?FE?0?(4?a)x?2z?0zP19

EADyF

?x?2?a?令x?2，则?y?，

2???z?a?4a2因为平面DEF?平面PCE，

???a所以m?n?0，即2??2a?8?0，

21212所以a??4， 点F(,0,0)．

55AF3所以?． ……………………14分

AB58、（Ⅰ）证明：连结BD交AC于点O，连结OM.

所以n?(2,,a?4)．

因为 AB//CD，AB?2CD， 所以 因为 BM?2MP，所以 所以

BOAB??2. DOCDBM?2. PMBMBO?. PMDO所以 OM//PD. ………………2分 因为 OM?平面MAC，PD?平面MAC，

所以 PD//平面MAC. ………………4分

（Ⅱ）证明：因为 平面PAD?平面ABCD，AD?AB，平面PAD?平面ABCD?AD，AB?平面ABCD，

所以AB?平面PAD. ………………6分 因为 PA?平面PAD，

所以 AB?PA. ………………7分 同理可证：AD?PA.

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