备战2012年高考压轴题（圆锥曲线与导数）

备战2013年高考压轴题集(圆锥曲线部分)

1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

（Ⅰ）求这三条曲线的方程；

（Ⅱ）已知动直线l过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由.

2.（本小题满分12分）将圆O: x?y?4上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C的方程;

(2) 设O为坐标原点, 过点F(3, 0)的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,延长线段ON交C于点E.

求证: OE?2ON的充要条件是|AB| ?3.

3.（12分）E、F是椭圆x?2y?4的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点P?l，过点

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22E的直线交椭圆于A、B两点.

（1） 当AE?AF时，求?AEF的面积； （2） 当AB?3时，求AF?BF的大小； （3） 求?EPF的最大值.

BEOFyAPMx1

4.(本小题满分14分)

x2y2设双曲线2?2=1( a > 0, b > 0 )的右顶

ab点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.

(1) 证明：无论P点在什么位置，总有|OP|2 = |OQ·OR| ( O为坐标原点)；

????????

(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；

5. (本小题满分14分)

已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (1) 求证：| ac | ? 4;

(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.

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x(x ? –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ? 0 ). x?1

6. （本小题满分13分）

x2y2设M是椭圆C:??1上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对

124称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．

7. （本小题满分12分）

过抛物线x?4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，PA?PB?0. （1）求点P的轨迹方程；

（2）已知点F（0，1），是否存在实数?使得FA?FB??(FP)2?0？若存在，求出?的值，若不存在，请说明理由.

8. （本小题满分14分）

设函数f(x)?21?x?lnx在[1,??)上是增函数. ax1a?ba?b?ln?. a?bbb（1） 求正实数a的取值范围； （2） 设b?0,a?1，求证：

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9.(本小题满分12分)

如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，?C?90?，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD?3DC，!ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．

(1) 求双曲线E的方程；

(2) 若一过点P(m,0)（m为非零常数）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的

????????两点M、N，且MP??PN?????????????，问在x轴上是否存在定点G，使BC?(GM??GN)？

若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

yABODCx

10. （本小题满分13分）

x2y2 如图，已知双曲线C：2?2?1(a?0，b?0)的右准

ab线l1与一条渐近线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.

?? （I）求证：OM?MF；

? （II）若|MF|?1且双曲线C的离心率e?C的方程；

（III）在（II）的条件下，直线l3过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、

6，求双曲线2??Q且P在A、Q之间，满足AP??AQ，试判断?的范围，并用代数方法给出证明.

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11. （本小题满分14分）

y2x2 设双曲线2??1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2.

3a （I）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；

（II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

??（III）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP·OQ?0.

若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

12. （本小题满分12分）

x2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直

ab线分别交椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且P分向量AQ所成的比为8∶5．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过A,Q,F三点的圆恰好与直线l：x?3y?3?0相切，求椭圆方程．

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