固体物理习题与答案(6)

第十二章 晶体中的缺陷和扩散

例1．假设把一个钠原子从钠晶体内部移到边界上所需要的能量为1ev(1)，试计算室温（300k）时，sckottky空位的浓度？（已知：?Na=0.97克/原米3，原子量为23）

解：（1）设N为单位体积内的Na原子数，则在温度T时，schottky定位的浓度n可写成：n?Ne由题知：u=1ev=1.602 ×10-19J

?uKBT

?Na=0.97克/厘米3?每cm3含Na的mol数为：

?每cm3Na中所含的原子数为：

N=

0.97 230.97?6.02?1023 23?u于是：n?NeKBT?0.97?6.02?1023?e23?1.6?10?191.38?10?23?300

?4.2?105个厘米3。

例2. 如果u代表形成一个Frenkel缺陷所需的能量，证明在温度T时，达到热平衡的晶体中，Frenkel

u缺陷的数目为：n?NN'e?2KBT.

解：达到热平衡时，在N个原子的晶体中形成n个空位的可能方式数为：

nw1?CN?N!

(N?n)!n!这n个原子排列在N＇个间隙位置上的可能方式数为：

nw2?CN'?N'!

(N'?n)!n!这样，从N个原子中取出n个原子并把它们排n＇个间隙位置上的总方式数为：

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?2=?=?1?N!N＇! ?(N?n)!n!(N＇?n)!n!由此引起的熵的增量为：

??N!N'!?s?kBlnw?kB?ln?ln?

(N?n)!n!((N'?n)!n!??利用斯特令公式:luN!=NlnN-N

得?s?kB?NlnN?(N?n)ln(N?n)?nlnn??kB?N'lnN'?(N'?n)ln(N'?n)?nlnn? 系统的自由能改变：F?nu?T?s

U为形成一个Frenkel缺陷所需的能量。

由热平衡条件：???F???0有： ??n?Tu?KBTln(N?n)(N'?n) 2n?un2即：?eKBT

(N'?n)(N?n)?n?N,n?N＇

u?有：n?NN＇e证毕

?2KBT.

例3．铁一碳合金是面心立方结构，晶体常数为3.61A，设碳占的比重为1.7%试计算当碳是填隙式或替代式渗入时，合金的密度各等于多少？

?解：C的mol质量：12g，C：含量为：1.7%

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Fe的mol质量：55.85g,Fe：应为：98.3%

因此：在100克合余中，如果C是替代式溶入，则

C的mol数?1.7?0.1415(mol) 12Fe的mol数?98.3?1.76(mol) 55.85100g合金的总mol数=0.1415+1.76=1.9015(mol)

?在1mol的合金中：C的mol数=

Fe的 mol数=

0.1415?0.0745mol

1.90151.76?0.9255mol.

1.9015于是替代式的合金密度：

??原胞质量?原胞体积4?(0.9255?55.85?0.0745?12)6.02?1023 ?83(3.61?10)=7.43克/厘米3。

如果C以填隙方式溶入铁的晶格中

7.45??55.85??12??92.554???236.02?10????=7.88克/厘米3

则??3?3.61?10?8?显然，C以不同的方式存在于Fe中，其密度的差别较大，因此，可以用实验的方法确定碳原子在合余中的存在方式。

例4．设t=0时，在晶体表面每单位面积上集中着扩散粒子N，试求径过t时间后，扩散粒子的均方位移？

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?x2?2Dt? ??解：本题属于有源扩散问题。t时刻，x处扩散粒子的浓度是：

n(x,t)?N2?Dte?x24Dt

扩散粒子的均方位移可按下式求出：

x2?4Dt22x2?xn(x,t)dx?xe??????n(x,t)dx??e??2?dxx??4Dt

dx??4(4Dt)32??2Dt?P549(12?15)?

2(4Dt)y2例5．已知c在??Fe中的扩散系数D与温度关系的实验数据为：当温度为200℃时，扩散系数D200℃=10-11cm2/秒。温度为760℃时，D760℃=10-6cm2/秒，试求扩散过程的激活能Q（千焦耳/摩尔）。 气体常数R= 8.31J/mol·K.[华工99年研究生入学考试三（15分）] 解：由D=Doe-Q/RT有：D0?DeQ/RT

?D200?CeQ/RT1?D760?CeQ/RT2.

Q11(?)RT1T2e?D760?cD200?c?105

Q11(?)?5ln10 RT1T25ln10R5?8.31?2.3?

1111??T1T24731033Q??5?8.31?2.3?473?1033

560=83.38kJ/mol.

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作业：

（1）对于铜，形成一个肖脱基空位的能量为1.2ev，在接近熔点时（1300K），估算空位的浓度。形成一个填隙原子所需的能量约为4ev，估算接近熔点时填隙原子的浓度。试比较这两种浓度的数量级差多少？ （2）在离子晶体中，由于电中性的要求，Schottky缺陷都是成对地产生的。令n代表正、负离子空位的对数，E是形成一对缺陷所需要的能量，N为整个离子晶体中正、负离子对的数目；证明：

?En≈Ne

(3)已知C在T/℃ D/（cm2/s） 2KBT.

?铁中的扩散系数D和温度T的关系一组实验数据如下 -10 5×10-19 27 10-16 200 10-11 760 10-6 求1mol原子的激活能Q=N0?和频率因子D0.

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