固体物理习题与答案(2)

r02由体弹性模量公式：k?9V0???2U????r2?? ??r0（4）m = 2，n = 10，r0?3A， w = 4eV，求α、β

r0???10???18?5????? ①

18?2????? U(r4?85?0)????r2?10??0r.5r2???(r0?0?代入)

?W??U(r0)?4?5r2?4eV 0A?将r，1eV?1.602?10?190?3J代入①②

??7.209?10?38N?m2???9.459?10?115N?m2 （1）平衡间距r0的计算 晶体内能U(r)?N2(???rm?rn) 平衡条件

dUdr?0，?m?n?n?1n?m?1?)m r?r0rn?1?0，r0?(0r0m?（2）单个原子的结合能

W??1n12u(ru(r???0)，0)?(?n?rm?rn)，r0?()m r?r0m?1mn??mW??(1?)()n?m2nm?

（3）体弹性模量K?(?2U?V2)V0?V0 晶体的体积V?NAr3，A为常数，N为原胞数目 晶体内能U(r)?N?2(??rm?rn) ?U?U?V??r?r?V?N2(m?n?1rm?1?rn?1)3NAr2 ?2UN?r?m?n?1?V2?2?V?r[(rm?1?rn?1)3NAr2] ?2U?N1m2?n2??V2V?V029V2[?m?n?m?n?m?n] 0r0r0r0r0

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② 由平衡条件

?U?V?V?V0m?n?Nm?n?1，得?n (m?1?n?1)?0m2rr02r0r03NAr00?2U?V2?2U?V2V?V0N1m2?n2??[?m?n] 29V02r0r0?N1m?n?Nnm??[?m?n]??[??n] 2mn2m29V0r0r029V0r0r0V?V0U0??2U?V2N??(?m?n) 2r0r0?V?V0mn(?U0) 29V0体弹性模量K?U0mn 9V0（4）若取m?2,n?10,r0?3A,W?4eV

1?mn?n?1mn?r0?()m，W??(1?)()n?m

m?2nm???W10?r0，??r02[10?2W] 2r0??1.2?10-95eV?m10，??9.0?10?19eV?m2

2.6、bcc和fcc Ne的结合能，用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc和fcc结构中的结合能之比值．

＜解＞u(r)?4??()?()?,u(r)?N(4?)?An()?Al()?

r?2rr??r?2A6A1261?du(r)?6??u0??N????0?r0?2rA2A12??r6??12?6?1??12?6?

??bccu(r0)bccA62A612.252/9.11??()/()??0.957

??fccu(r0)fccA12A1214.452/12.13

2.7、对于H2，从气体的测量得到Lennard—Jones参数为??50?10J,??2.96A.计算fcc结构的H2的结合能[以KJ/mol单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计

算值比较．

＜解＞ 以H2为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，

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?6?则晶体的总相互作用能为：

6???12???12?????6U?2N???Pij?????Pij???.

?R??R??j?i???j?P?6?14.45392;??Pij?12?12.13188,iji???50?10erg,??2.96A,N?6.022?1023/mol.将R0代入U得到平衡时的晶体总能量为U?2?6。022?10/mol?50?1028?16126因此，计??2.96??2.96??erg??12.13?????14.45??????2.55KJ/mol.3.163.16?????????16算得到的H2晶体的结合能为2．55KJ／mol，远大于实验观察值0.75lKJ／mo1．对于H2的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大

差别的原因．

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第三章 固格振动与晶体的热学性质

3.1、已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移为，?nj?ajsin(?jt_naqj??j)，

?j为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位

移。

＜解＞任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即

?n???nj??ajsin(?jt?naqj??j) （1）

jj???*?2*?????nj????nj????nj???nj??nj?

j?j??j??j?j2n由于?nj??nj数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相比是一小量，

2可以忽略不计。所以?n???j2nj

由于?nj是时间t的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为

?2j?1T0?T00a2jsin(?jt?naqj??j)dt?12aj （2） 2已知较高温度下的每个格波的能量为KT，?nj的动能时间平均值为

1Tnj?T0?L0dx?T00?1?d?nj?2??wja2T01j222dt?Lasin(?t?naq??)dt??wLa?????jjjjjj ?02?dt??2T04???其中L是原子链的长度，?使质量密度，T0为周期。 所以Tnj?112?w2KT （3） jLaj?422）式有?nj?2因此将此

KT 2PL?jKTKT1? ?2PL?2PL?jjj所以每个原子的平均位移为

22?n????nj??jj

3.2、讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解，当M= m时与一维单原子链的结果一一对应。

解：质量为M的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。

牛顿运动方程

??2n???(2?2n??2n?1??2n?1)m?

??2n?1???(2?2n?1??2n?2??2n)M?N个原胞，有2N个独立的方程

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设方程的解

?2n?Aei[?t?(2na)q]?2n?1?Bei[?t?(2n?1)aq]，代回方程中得到

?(2??m?2)A?(2?cosaq)B?0? ?2???(2?cosaq)A?(2??M?)B?0A、B有非零解，

2??m?2?2?cosaq2?2?cosaq2??M?2?0，则

1(m?M)4mM2???{1?[1?sinaq]2} 2mM(m?M)两种不同的格波的色散关系

1(m?M)4mM2???{1?[1?sinaq]2}2mM(m?M)2?2????(m?M)4mM{1?[1?sin2aq]}2mM(m?M)12

一个q对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.

???当M?m时

4?aqcosm24?aqsinm2，

???两种色散关系如图所示： 长波极限情况下q?0，sin(qaqa)?， 22???(2

?m)q与一维单原子晶格格波的色散关系一致.

3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为?和10?，两种原子质量相等，且最近邻原子间距为a2。试求在q?0,q??a处的?(q)，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如

H2这样的双原子分子晶体。

答：（1）

浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。

第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程：

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