固体物理习题与答案(3)

??2n??(?1??2)?2n??2?2n?1??1?2n?1m?

??2n?1??(?1??2)?2n?1??1?2n?2??2?2nm?体系N个原胞，有2N个独立的方程

1i[?t?(2n)aq]21i[?t?(2n?1)aq]21iaq2方程的解：

?2n?Ae，令?12??1/m,2?2??2/m，将解代入上述方程得：

?2n?1?Be21222(?????)A?(?e(?e1?iaq22121??e221?iaq2)B?0??e1iaq222

2)A?(?12??2??2)B?0A、B有非零的解，系数行列式满足：

(?????),(?e21211?iaq22121222?(?e211iaq2??e221?iaq2)??e1iaq222?0

1?iaq21?iaq21iaq21iaq22),?(?12??2??2)(?????)?(?e(?????)?(?e2222212222211iaq21iaq2??e??e222221?iaq21?iaq2)(?e)(?e2121??e??e2222)?0 )?0

因为?1??、?2?10?，令?0??1?24(11?0??2)2?(101?20cosaq)?0?0

2c10c22,?2??10?0得到 mm22两种色散关系：???0(11?20cosqa?101)

22当q?0时，???0(11?121)，

???22?0???0

当q??a时，???(11?81)，

220???20?0???2?0

（2）色散关系图：

3.7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有?(q)??0?Aq2 求证：f(?)?V11/2???,???0;f(?)?0,???0. ??023/24?A2212＜解＞???0时，???0?Aq?0f(?)?0,??0??0???Aq?q?A

11

??0???12

依据?q?(q)??2Aq,f(?)?3?2???V?ds，并带入上边结果有

?q?(q)?dsV1A1/2V11/2 f???????4?????????????00331/2223/2?2???q?(q)?2??2A??0????2??AV

3.8、有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与T。

证明：在k到k?dk间的独立振动模式对应于平面中半径n到n?dn间圆环的面积2?ndn，且

2

L253s?2?ndn?kdk?kdk即?????d?则

2?2?2?v?23s?kBT???2d??E?0e??/kBT?12?v?2?2?E)s?T2 ?T33sE?2?v?2??m0??DD??????????d??kBT??kBTe??/kBT?12?3?3skT??B??2?v?2?2?xDDx2dx， xe?1T?0时，E?T3,?Cv?(

3.9、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为F?U0?kBT??q?1????q证明:量子谐振子的自由能为F?U?kBT????n?1?ekBT?q?2kBT?????q??n?? ?q?kBT????? ????经典极限意味着（温度较高）kBT???g

x2应用e?1?x?x?...

所以e???qkBT???q??1?????...

kBT?kBT???q2因此F?U???q?????q?1??q??kBT?n?1?1???U0?kBT?n?? ?kBT?q2q??kBT?1??q ?2q1??，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 2其中U0?U?

3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为

证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能E0就是各振动模零点能

12

之和。E0???m0E0???g???d?将E0????13V??和g????23?2代入积分有 22?vsE0?93V94???k?得E?NkB?D ，由于???N?mBD0mm816?2vs382一股晶体德拜温度为~10K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟．

3.11、一维复式格子m?5?1.67?1000A学波?max，声学波?max。 ,?min?24g,M?4,??1.5?101N/m(即，光1.51?104dyn/cm),求（1）m（2）相应声子能量是多少电子伏。 （3）在300k时的平均声子数。

0（4）与?max相对应的电磁波波长在什么波段。

＜解＞（1），?Axam2?2?1.5?104dyn/cm311????3.00?10s, 24M4?5?1.67?10

o?max2??M?m?2?1.5?104??4?5?5??1.67?1024dyn/cm???6.70?1013s?12424Mm4?5?1.67?10?5?1.67?10?Amax2?2?1.5?104dyn/cm ???5.99?1013s?124m5?1.67?10A??max?6.58?10?16?5.99?1013s?1?1.97?10?2eVo?16（2）??max?6.58?10?6.70?1013s?1?4.41?10?2eV

o??min?6.58?10?16?3.00?1013s?1?3.95?10?2eV（3）nAmax?1eA??max/kBT?1?0.873,nOmax?1eO??max/kBT?1?0.221

Onmin?1eO??min/kBT?1?0.276

（4）??

2?c??28.1?m

13

第四章 能带理论

4.1、根据k???a状态简并微扰结果，求出与E?及E?相应的波函数??及???，并说明它们的特性．说

2明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布?说明能隙的来源(假设Vn=Vn*)。

＜解＞令k???a，k????a，简并微扰波函数为??A?k0(x)?B?k0(x)

0*??E(k)?EA?VB?0 n??0E VnA????k???E??B?0 取E?E?

带入上式，其中E??E0(k)?Vn

V(x)<0,Vn?0,从上式得到B= -A,于是

A????A??(x)??(x)???L0k0k??n?x?ix??ina2An?asinx =e?e??aL??取E?E?，E??E0(k)?Vn VnA??VnB,得到A?B

?n?x?ix?2An?A?inaa?cosx =???A??(x)??(x)?e?e????aLL??0k0k? 由教材可知，??及??均为驻波． 在驻波状态下，电子的平均速度?(k)为零．产生驻波因为电子波矢k?n?2?2a?时，电子波的波长??，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，

akn并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。

4.2、写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1，2，3)中，简约波数k?*k?的0级波函数。 2a?2?2?1?i2?mxiximxi(m?)x1ikx1ikx11e?eea?e2a?ea?ea4 ＜解＞?(x)?LLLL 14

?x1i2a第一能带：m??0,m?0,?(x)?e

2aL?*k2?3??ixixi2?2?1*第二能带：b?b?则b??b,m???,即m??1,（ea=e2a）??k(x)?e2a

aaL?2??xixx2?2?1i21i5*aa2a第三能带：c??c,m??,即m?1,?k(x)?e?e?e

aaLL

4.3、电子在周期场中的势能．

122?m?2?b?(x?n)a, 当na?b?x?na? b ??2V(x)? 0 ， 当(n-1)a+b?x?na?b

其中d＝4b，?是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．

＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．

(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以

11a1a?bV(x)??V(x)??V(x)dx??V(x)dx

LLaba?b题设a?4b，故积分上限应为a?b?3b，但由于在?b,3b?区间内V(x)?0，故只需在??b,b?区间内积分．这时，n?0，于是

1bm?2b22m?2V??V(x)dx?(b?x)dx?a?b2a??b2a?2?bx?b?b1?x33b?b?12??6m?b。 ?（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数

V(x)?V0?m??????m?22bm?1bm?Vmcosx,Vm?V(x)cosxdx?V(x)cosxdx2b2b?02bb?02bm?2第一个禁带宽度Eg1?2V1,以m?1代入上式,Eg1?b利用积分公式ucosmudu??b0(b2?x2)cos?x2bdx

?2u2musinmu?2cosmu?????3sinmu得 2??mm 15

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