固体物理习题与答案(5)

???1??1???1G?11????C?G?11???UC??G?11???0??2??2??2???1??1????1G?11????C??G?11???UC??G?11???0??2??2??2 ?12G?11??? ?u

?u ??1?? =0，因为

2G?11?2?1????2?1??222G?11????12G?11?2m??2G?11?????ma2?2(???)2?U2?0解得?=??U??2由行列式有ma2?U, 所以在（?,-?aa）处的能隙为??=?+????2u.

第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动

5.1、设有一维晶体的电子能带可写成 E(k)??2ma2(78?coska?18cos2ka)，是电子的质量。

试求（1）能带宽度；

（2）电子在波矢k状态的速度； （3）带顶和带底的电子有效质量。

解：（1） E(k)??2ma2(78?coska?18cos2ka) ?2 =1ma2?78－coska+2

8(2coska－1)] ＝?24ma2?(coska－2)2

－1? 当ka＝(2n+1)?时,n=0,?1,?2?

E(k)?2?2maxma2 当ka=2n?时, Emin(k)?0 能带宽度＝Emax?E?2?2minma2

21

其中a为晶格常数，m

（2）??*1dE(k)?1?(sinka?sin2ka)

?dkma4??2?1 (3) m???2E??m(coska?cos2ka)?1

2???k2?? 当k?0时,带底，m*?2m 当k??

5.5、

?2时,带顶，m*??m a3?1解：（1）电子的运动速度：v??kE(k)

??dvd1?1dE?(?kE)??k?∴ 加速度： dtdt??dt由于单位时间内能量的增加=力在单位时间内作的功

??dE?ds??1??F??F?v??kE?F 即：dtdt??dv1???1?E?E?E∴?2?k[?kE?F]?2?k?[F1?F2?F3] dt???k1?k2?k3写成分量的形式：

?1dv11??2E?2E?2E11?2?2F1?F2?F3??F1?F2?F3 dt???k1?k1?k2?k1?k3?m11m12m13?1dv21??2E?2E?2E11?2?F1?2F2?F3??F1?F2?F3 dt???k1?k2?k2?k2?k3?m21m22m23dv31??2E?2E?2E?111?2?F1?F2?2F3??F1?F2?F3 dt???k3?k1?k3?k2?k3mmm313233?11?2E其中： （i,j=1,2,3） ?2mij??ki?kj2?k32?2k12?2k2由题知：E? ??2m12m22m3 22

111111?2E1容易得出： ?,??22? 同理：

m22m2m33m3m11??k1m11111111?2E?????0 ?2?0 同理：

m13m21m23m31m31m12??k1?k2?dv1?m1dt?F1??dv故运动方程为：?m22?F2

dt??dv3?m3dt?F3?（2）当存在磁场B作用时，电子将受到洛仑兹力作用

????F??ev?B

?当B相对于椭球主轴的方向余弦为?,?,?时，电子的运动方程可写成：

??v?B?v1?i?jv2???v3?(v2B??v3B?)i?(V3B??V1B?)j?(V1B??V2B?)k

?kB?B?B?∴ 电子的运动方程可写成：

?dv1?v32??vB3?)??v2?3?m1dt?F1??e(vB??dv?v 1∴ ?m22?F2??e(vB3??VB1?)??v3?1dt??dv3?v21??VB1?)??v1?2?m3dt?F3??e(vB?其中：?1?eB?,?2?eB?,?3?eB?

231?由于电子在磁场B作用下作周期性运动，故可设试探解：

v1?v10ei?tv2?v20ei?t 代入上述方程组可得： v3?v30ei?t 23

?i?m1v1??2v3??3v2?i?m1v1??3v2??2v3?0???i?m2v2??3v1??1v3 即??3v1?i?m2v2??1v3?0 ?i?mv??v??v??v??v?i?mv?0331221233??21v1,v2,v3有非零解的条件是

i?m1?3?2?3i?m2??1??2??1?0 i?m3222 ?im1m2m3?3?i?m1?1?i?m2?2?i?m3?3222222m1?1?m2?2?m3?322m1??m2??m3?即：??=eB

m2m2m3m1m2m32mmme2B22∴?=*2 m*?221222322

mm1??m2??m3?2

??m1m2m3eB即：?? 其中：m*??22 证毕 2222?m*m??m??m?23?1?

1/2第六章 金属电子论

24

第七章 半导体电子论

7.1、InSb电子有效质量me?0.015m，介电常数??18，晶格常数a?6.49A。试计算；(1)施主的电离能；(2)基态轨道的半径；(3)施主均匀分布，相邻杂质原于的轨道之间将产生交叠时掺有的施主浓度应该高于多少？

＜解＞（1）由于施主电离能ED是氢原子电离能Ei的

?m* 倍，m0?2?ED?m*Ei0.014?13.6?4?(eV)?6.59?10(eV) 2m0?(17)?4??2?0?m0?17?0.52?2?a0?(A)?6.31?10(A)6.31?10?8(m) （2），a0?2m*em*0.014（3），如果施主的电子与类氢基态轨道发生重叠，则均匀分布于InSb中施主杂质浓度ND就一定满足

(2a)3ND?1,?ND?(

13120?2)??4.98?10(m) ?832a(2?6.31?10)25

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