固体物理习题与答案

《固体物理学》习题解答

黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）

第一章 晶体结构

1.1、

解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率， x?（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）

nV Vc43?r，Vc=a3，n=1 34343?r?r?33∴x????0.52 6a38r3a=2r， V=

（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=3a?4r?a?n=2, Vc=a3

43x 32?∴x?434?r2??r3333????0.68 8a3433(r)3（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=2a?4r,?a?22r n=4，Vc=a3

444??r34??r3233x?????0.74 336a(22r)（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6?S?ABO?6?晶胞的体积：V=S?C?a?asin60332a =223328a?a?32a3?242r3 23n=1212?11?2??3=6个 6246??r323x????0.74 36242r（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a?4?2r?a?8r3 n=8, Vc=a3

1

448??r38??r33?33x????0.34 6a3833r33

c81.2、试证：六方密排堆积结构中?()1/2?1.633

a3证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、O的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.

即图中NABO构成一个正四面体。…

1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

??a???a1?2(j?k)???a??证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：?a2?(i?k)

2???a???a3?2(i?j)??2???(a2?a3) 由倒格子基矢的定义：b1??0,a??????a1?(a2?a3)?,2a,2a,20,a,2a?i,2aa3a???，a2?a3?,242a0,2?j,0,a,2?kaa2????(?i?j?k) 240?4a2???2?????b1?2??3?(?i?j?k)?(?i?j?k)

a4a?2????b2?(i?j?k)a同理可得：即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

?2????b3?(i?j?k)a所以，面心立方的倒格子是体心立方。

??a????a1?2(?i?j?k)???a???（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：?a2?(i?j?k)

2???a????a3?2(i?j?k)? 2

?2???(a2?a3) 由倒格子基矢的定义：b1??aaa????,,i,j,k222aaaa3???aaaa2???????a1?(a2?a3)?,?,?，a2?a3?,?,?(j?k)

22222222aaaaaa,,?,,?222222?2a2??2????b1?2??3?(j?k)?(j?k)

a2a?2???b2?(i?k)a同理可得：即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。

?2???b3?(i?j)a所以，体心立方的倒格子是面心立方。

????1.5、证明倒格子矢量G?hb1h2h3)的晶面系。 11?h2b2?h3b3垂直于密勒指数为(h

证明：

???????????a?a????aa3312因为CA??,CB??，G?hb11?h2b2?h3b3

h1h3h2h3?????Gh1h2h3?CA?0??利用ai?bj?2??ij，容易证明? ????Gh1h2h3?CB?0????所以，倒格子矢量G?hb1h2h3)的晶面系。 11?h2b2?h3b3垂直于密勒指数为(h

1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系，面间距d满足：d?a(h?k?l)，其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。 22222?????????解：简单立方晶格：a1?a2?a3，a1?ai,a2?aj,a3?ak

?????????a2?a3a3?a1a1?a2由倒格子基矢的定义：b1?2????，b2?2????，b3?2????

a1?a2?a3a1?a2?a3a1?a2?a3

3

?2???2???2??i,b2?j,b3?k 倒格子基矢：b1?aaa?????2??2??2??i?kj?lk 倒格子矢量：G?hb1?kb2?lb3，G?haaa晶面族(hkl)的面间距：d???2?G1

hkl()2?()2?()2aaaa2 d?2(h?k2?l2)2面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。

1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。

解：(111)

1、(111)面与(100)面的交线的AB，AB平移，A与O点重合，B点位矢：RB??aj?ak，

????????? (111)面与(100)面的交线的晶向AB??aj?ak，晶向指数[011]。

(111)

???2、(111)面与(110)面的交线的AB，将AB平移，A与原点O重合，B点位矢：RB??ai?aj，(111)面??????与(110)面的交线的晶向AB??ai?aj，晶向指数[110]。

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第二章 固体结合

2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（??2ln2）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N。

＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有

?r???j(?1)1111 ]?2[????...rijr2r3r4r前边的因子2是因为存在着两个相等距离ri的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为 111

??2[1????...]2342xx3x4??n(1?x)?x????...

x34当X=1时，有1?111???...??n2 ????n234

2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为 u(r)???rm??rn

试求：（1）平衡间距r0；

（2）结合能W（单个原子的）；

（3）体弹性模量；

（4）若取m?2,n?10,r0?3A,W?4eV，计算?及?的值。 解：（1）求平衡间距r0

由

du(r)?0，有：

drr?r01m?n?m??m?n?????0?r?0??m?1n?1r0r0.?n???n??????m??1n?m

结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w表示）

（2）求结合能w（单个原子的）

题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。

显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即Umin

即：W??U(r0)??（3）体弹性模量

?rm0??rn0 （可代入r0值，也可不代入）

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