第9讲应用问题的题型与方法（4课时）(6)

24．分析：设∠ADC＝α后，将AD、BC用α表示，进而将运费表示成α的函数是，再求运费最小值等.

解：设∠ADC＝α，则AD＝

10sin?，BD＝30－10cotα，

10sin?设水路每km的运费为1，则运费y＝(30－10cotα)＋2×＝10(3－设t＝

cos?sin?

＋

2sin?)＝10(3＋

2?cos?sin?)

2?cos?sin?，即t×sinα＋cosα＝2，有t2?1sin(α＋θ)＝2，

2∴t?1≥2即t≥3.

当t＝3时，2－cosα＝3sinα即∴ sin(α＋30°)＝1，即α＝60°. ∴ CD＝10cotα＝

103332sinα＋

12cosα＝1，

km

综上所述，D点应选在距C点

1033km时运费最少.

说明：作为工具学科的三角，跨学科的应用是它的特点，不少物理学、工程测量、航海航空等应用题都可以转化为三角函数来解决，或者运用解三角形中的基本知识和手段进行解答，此种题型属于应用问题中的三角模型.

25．解：（1）由题意病毒细胞关于时间n的函数为y?2两边取对数得 (n?1)lg2?8, n?27.5，

即第一次最迟应在第27天注射该种药物.

（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为226?2%， 再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为226?2%?2x， 由题意226?2%?2x≤108，两边取对数得 26lg2?lg2?2?xlg2?8,得x?6.2，

故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物． 说明：本题反映的解题技巧是“两边取对数”，这对实施指数运算是很有效的.

26.解：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列

{an}n?1， 则由2n?1?10,

8，其中

a1?128,q?1.5,

26

则在2010年应该投入的电力型公交车为a7?a1?qSn6?128?1.5136?1458（辆）.

(2)记Sn?a1?a2???an，依据题意，得10000?S?n.

于是Sn?则有n量的

13?7.5,128(1?1.5)1?1.5n，即1.5??5000（辆）

n65732，

因此n?8.所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总

.

27．解: 题中已知了字母， 只需要建立不等式和函数模型进行求解.

由于y?50V及4?V?100,?2.5?y?12.5,同理3?x?10又9?x?y?14

P?100?3(5?x)?2(8?y)?131?(3x?2y),令z?3x?2y.则z最大时P最小.

作出可行域，可知过点（10，4）时， z有最大值38， ∴P有最小值93，这时V=12.5，W=30.

28．分析与解：因为选择从A或B进货的标准应该是包括运费在内的总费用比较便宜，因此在A、B两个批发市场的售货区域分界线上，到两地进货的费用应该相等，由于商品价格一致，于是只要运费相等就使附近居民获利。设M为分界线上任意一点，从B市场运往M的单位运费未能a，则有2aMA?aMB于

MA/MB?1/2，从而知点M具有特

说明：视z?3x?2y这是整体思维的具体体现， 其中的换元法是数学解题的常用方法.

殊性质，即M到两定点A、B的距离之比为定值1/2，这样问题就转化为“求到两定点A、B距离之比为定值1/2的点M的轨迹方程”。

以A、B两地距离的中点为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，则A、B的坐标分别（－50,0）、（50,0），设M（x，y），由距离公式：

(x?50)?y(x?50)?y2222222?12化简整理得：(x?250/3)?y?(200/3) , 所以售货区域分界线应是以（－250/3,0）为圆心200/3为半径的圆。由于MA?1003?2003,MB?4003?2003,所以在该圆上的居

民从A或B市场进货均可以，因为进货总费用一样，而圆内的居民则从A市场进货较便宜，圆外的居民从B市场进货较合算。

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