第9讲应用问题的题型与方法（4课时）(5)

15．（2004年普通高等学校春季招生考试数学试题（北京卷理工））据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨.由此预测，该区下一年的垃圾量为____________吨，2008年的垃圾量为_________吨. 16．（2004年上海市普通高校春季高考数学试卷) 根据下列5个图形及相应点的个数的变化

。 规律，试猜测第n个图中有 个点.

。

。 。 。 。 。 。 。 。。 。 。 。 。 。 。。 。 。 。 。 。 。

（1） （2） （3） （4） （5）

17．（2004年上海市普通高校春季高考数学试卷) 一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇.若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 18．（2004年上海市普通高校春季高考数学试卷) 第0行 1

如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 第1行 1 1

第2行 1 2 1 _____行中从左至右第14与第15个数的比为2:3.

第3行 1 3 3 1

第4行 1 4 6 4 1

19．（2004年上海市普通高校春季高考数学试卷) 第5行 1 5 10 10 5 1

在等差数列{an}中，当ar?as(r?s)时，{an} ?? ?? ??

必定是常数数列.然而在等比数列{an}中，对某 些正整数r、s(r?s)，当ar?as时，非常数数 列{an}的一个例子是____________.

20．（2003年普通高等学校招生全国统一考试(理工农 医类)）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）

21． 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.

21

22．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比. （1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？ （2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？

d a

l

23．为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：

贷款期(年数) 公积金贷款月利率(?) 商业性贷款月利率(?) ?? ?? ?? 11 4.365 5.025 12 4.455 5.025 13 4.545 5.025 14 4.635 5.025 15 4.725 5.025 ?? ?? ??

汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问： (1)汪先生家每月应还款多少元?

(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还 清；那么他家在这个月的还款总数是多少?

(参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)

24．假设河的一条岸边为直线MN，AC⊥MN于C，点B、D在MN上，现将货物从A地经陆地AD于水陆BD运往B地，已知AC＝10km，BC＝30km，又陆地单位距离的运价是水陆单位距离运价的2倍，为使运费最少，D点应选在距C点多远处？

25．医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．

天数t （1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，

1 第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）

2 （2）第二次最迟应在何时注射该种药物，

3 才能维持小白鼠的生命？（精确到天）

4

5 6 7 病毒细胞总数N 1 2 4 8 16 32 64 22

已知：lg2=0.3010．

26.（2004年上海市普通高校春季高考数学试卷19)

某市2003年共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？

(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的

27．某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时（4≤V≤20）从A港出发前往50千米处的

B港，然后乘汽车以匀速W千米/小时（30≤W≤100）自B港向300千米处的C市驶去，在同一天的16时至21时到达C市， 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、y小时，若所需经费p?100?3(5?x)?2(8?y)元，那么V、W分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.

28．A、B两个批发市场，商品批发价格相同，但在某地区的居民从两地运回商品时，每单位距离的运费不同，A地的运费是B地的两倍，已知A、B两地相距100公里。问：A、B两批发市场售货区域分界线设在何处对居民进货有利？

13？

八、参考答案

1－5 BACBC； 6－8 CCB 9.

4??4

2．解：V＝πr

2l?4r2＝πr(

2l2r?r?l2?2r－2r)≤π(

13l23)3

l210．解：设长x，面积S＝x×11. 6，30，10； 12. 120；

l?x3≤()，答案：长为

2，最大面积

l212；

分析与解：在解本题时，需要利用分类计数原理和分步计数原理，对6个部分逐个讨论：

（1）先种标号为1的部分，共4种不同的种法；

23

图1

（2）栽种标号为2 、3、5的部分，

①若5与2或3同色，则对于标号为2、3、5的部分有A32种不同的栽种方法，如果5与2同色，则4有1种栽种的方法，6有2种不同的栽种方法；如果5与3同色，则4有2种不同的栽种的方法，6有1中栽种方法．

②若5与2和3均不同色，则对于标号为2、3、5的部分有A33种不同的栽种方法，则标号为4和6的部分分别有1种不同的栽种方法．

所以，共有4?[A32?(1?2?2?1)?A33?1?1]?4?(24?6)?120种不同的栽种方法． 说明：本题考查了分类计数原理和分步计数原理、排列组合的有关知识以及运用数学知识

解决问题的能力，具有较高的难度，本题的得分率低于0.1．其实这道题与下面的一道题这样一道、绝大多数考生见过的原型的基础上改造而成的。 13. 由

30h＝tg60°得h＝103≈17.3；

14. C3C15C2＝1680. 15. a(1?b)， a(1?b)5； 16.n2?n?1； 8417.； 18. 34；

19.1，a,?a,a,?a,?(a?0)，r与s同为奇数或偶数； 20．72；

21．解: 想想看， 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?

设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为2.5Am2，征地费用为5970n514A元，楼层建筑

n费用为

[445+445+（445+30）+（445+30×2）+?+445+30×（n－2）]·元，从而

y?5970An?15nA?6000nAn?(15n?30n?400)A30An?400A?(15n?6000n?400)A?1000A（元）

当且仅当15n? ， n=20（层）时，总费用y最少.

故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时， 最少总费用为1000A元.

22．解:（1）安全负荷y1?k??y1y2?daadl22(k为正常数） 翻转90?后,y2?k?dal22

,?当0?d?a时,y1?y2，安全负荷变大.?4

分当 0?a?d时,y2?y1，安全负荷变

小.

24

（2）如图，设截取的宽为a，高为d，则()2?d2?R2,即a2?4d2?4R2.

2a ∵枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大.

u?d2a2?d24R?4d22?2d(R?d)422

342?d2d22???(R?d)?22?dd222??(R?d)?4?2?223??????

?439R，当且仅当

3d2222?R?d，即取d?63R，

取a?2R2?d2?23R时，u最大， 即安全负荷最大.

3说明：三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解， 学过导数知识， 其解法就更为方便， 省去了应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的技巧性.

23.解 设月利率为r，每月还款数为a元，总贷款数为A元，还款期限为n月 第1月末欠款数 A(1＋r)－a

2

第2月末欠款数 [A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)－a (1＋r)－a 第3月末欠款数 [A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a ＝A(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a ??

第n月末欠款数 A(1?r)n?a(1?r)n?1?a(1?r)n?2???a(1?r)?a?0 得：a?A(1?r)n?r(1?r)?1n

对于12年期的10万元贷款，n＝144，r＝4.455? ∴a?100000?1.004455144?0.0044551.004455144?1?942.37

对于15年期的15万元贷款，n＝180，r＝5.025? ∴a?150000?1.005025180?0.0050251.005025180?1?1268.22

由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元． (2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款 X?A(1?r)144?a(1?r)143?a(1?r)142???a(1?r)?a

其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025? ∴X＝41669.53

再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元．

说明：本题的计算如果不许用计算器，就要用到二项展开式进行估算，这在2002年全国高考第（12）题中得到考查.

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