第9讲应用问题的题型与方法（4课时）(3)

故当船速在(2,22]内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为22km/h，由此可见当船速为2.5km/h时， 人可以追上小船.

例9．（2003年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类20)）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南?(??arccos210并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. )方向300km的海面P处，

台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后

该城市开始受到台风的侵袭？

解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.

在时刻：（1）台风中心P（x,y）的坐标为

?22?20?t, ?x?300??102?722?y??300??20?t.?102?此时台风侵袭的区域是(x?x)2?(y?y)?[r(t)]2, 其中r(t)?10t?60,若在t时刻城市O受到台风 的侵袭，则有

(0?x)?(0?y)22?(10t?60).

2即(300?210?20?2222t)?(?300?27210?20?222t)

?(10t?60),即t?36t?288?0,解得12?t?24

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

例10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.

维生素A（单位/千克）

甲 600 乙 700 丙 400 11

维生素B（单位/千克） 成本（元/千克） （1）用x，y表示混合食物成本c元； （2）确定x，y，z的值，使成本最低. 解:（1）依题意得

800 11 400 9 500 4 c?11x?9y?4z,又x?y?z?100 ?c?400?7x?5y.

?4x?6y?320， ?3x?y?130?600x?700y?400z?56000,及z?100?x?y ， 得 （2）由800x?400y?500z?63000?7x?5y?450. ?c?400?7x?5y?400?450?850,

4x?6y?320,即x?50时等号成立.， 当且仅当3x?y?130y?20? ∴当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低为850元.

说明：线性规划是高中数学的新增内容， 涉及此类问题的求解还可利用图解法.

例11．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文史类19））

有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）

（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，

点P应位于何处？

（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小， 点P应位于何处？

分析：本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运 用数学知识分析问题和解决问题的能力.

（Ⅰ）解：设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离 的平方和为

222f(y)?2(25?y)?(12?y)?3(y?4)?146.

所以，当y?4时，函数f(y)取得最小值. 答:点P的坐标是(0,4).

?25?y2,当25?y2?|12?y|,（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为 g(x)?? ?2??|12?y|,当25?y?|12?y|. 由25?y2?|12?y|解得y?11924,记y?*11924,于是

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2*?**25?y,当y?y, 因为?2 g(x)?而|12?y|在(-?,y]25?y在[y,??)上是增函数，?*??|12?y|,当y?y.上是减函数. 所以y?y时，函数g(y)取得最小值. 答:点P的坐标是(0,?25?y2,当25?y2?|12?y|, 解法二：P至三镇的最远距离为 g(x)??

?2??|12?y|,当25?y?|12?y|.*11924);

由

25?y2?|12?y|解得y?11924,记y?*11924,于是

2*? g(x)??25?y,当y?y,

?*??|12?y|,当y?y. 函数x?g(y)的图象如图(a)，因此，

11924);

?4,如图(b).

当y?y*时，函数g(y)取得最小值.答:点P的坐标是(0,

解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13，且，AC2?OC2?12?5?OC,?ACB?所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为(0,11924)，

且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线

MA的反向延长线上，记P为P2， 这时P到A、B、C三点的最远距离为

P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M 重合时，P到三镇的最远距离最小. 答:点P的坐标是(0,11924);

例12．据气象台预报，在A市正东方向300公里的B处有一台风中心形成，并以每小时40公里的速度向西北方向移动，距离台风中心250公里内的地方都要受其影响。问：从现在起，大约多长时间后，台风将影响A市，持续时间有多长？

分析：台风中心在运动，它的运动规律是什么？我们可以建立一个直角坐标系来研究这一规律。视A市为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系XOY，则B处的坐标（300,0），圆A的方程为x2＋y2＝2502，易知当台风中心在圆A上或内部时，台风将影响A市。

解：建立如图所示的直角坐标系，台风中心运动的轨迹是一条射线，由于台风中心以

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每小时40公里的速度向西北方向移动，于是可设台风中心所在的射线的参数方程为：

x＝300+40tcos135o 即 x＝300-202t y＝40tsin135o

（t≥0） y＝202t （t≥0）

其中，参数t的物理意义是时间（小时），于是问题转化为“当时间t在何范围时，台风中心在圆A的内部或边界上”。

台风中心C（300-202t，202t）在圆A上或内部的充要条件是： （300-202t）2＋（202t ）2≤2502 ，解得1.9≤t≤8.6 所以大约2小时后，A市将受到台风影响，并持续6.5小时左右。

说明：这个解析几何模型对于研究台风、寒流、沙暴中心的运动规律，指导和预防自然灾害的影响具有现实意义。

例13．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140<2a<420，且a为偶数），每人每年可创利b万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万．．．1人，．．．．元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的益，该公司应裁员多少人？

解：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则 y?(2a?x)(b?0.01bx)?0.4bx =?b100[x?2(a?70)x]?2ab 34?2a， ∴0

a2234，为获得最大的经济效

依题意 2a?x≥.

又140<2a<420， 70

a2a2，即70

a2，即140

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综上所述，当70

a2人.

说明：在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如

何分类？

例14．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷理工农医类20））

A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B 队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员 A1对B1 A2对B2 A3对B3 A队队员胜的概率 232525A队队员负的概率 133535 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η

（1）求ξ、η的概率分布； （2）求Eξ，Eη.

分析：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0. P(??3)?P(??2)?232323??352525??25?1?13?875?25

25??3535?25??35?1323??3535?25??252875

P(??1)??3?25，

P(??0)?13?35?35?325

根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=

875， P(η=1)=P(ξ=2)=

2875

P(η=2)=P(ξ=1)= （2）E??3?25， P(η=3)=P(ξ=0)=

325?.

875?2?2875?1?25?0?3252215； 因为ξ+η=3，所以 E??3?E??2315.

例15．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

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