随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？
解: 引入字母，转化为递归数列模型.
设第n次去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，则an?bn?150.
?an?910an?1?710210bn?1?910an?1?210(150?an?1)?710710an?1?30即an?)n?1710an?1?30.
?an?100?(an?1?100)，于是an?100?(a1?100)(710)n?1
即
an?100?(?(a1?100).
?liman?100.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.
n??说明：上述解法中提炼的模型an?已知数列?an?的项满足
710an?1?30， 使我们联想到了课本典型习题：
a1?b,? ?（其中c?0,c?1），
a?ca?dn?n?1证明这个数列的通项公式是：an?bcn?(d?b)cc?1n?1?d.
这是一个重要的数列模型，用此模型可以解决许多实际应用题， 如2002年全国高考解
答题中的应用题(下文例14)就属此类模型.
例3．（1991年上海高考题）已知某市1990年底人口为100万，人均住房面积为5m2，如果该市每年人口平均增长率为2％，每年平均新建住房面积为10万m2，试求到2000年底该市人均住房面积（精确到0.01）？
分析：城市每年人口数成等比数列，每年住房总面积成等比数列，分别写出2000年后的人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积.
解：1.读题：主要关系：人均住房面积＝
总住房面积总人口数4
42.建模：2000年底人均住房面积为
100?10?5?10?10?10100?10?(1?2％)410
6
3.求解：化简上式＝
61.0210，
23∵ 1.0210＝1＋C1×0.02＋C10×0.022＋C10×0.023＋?≈1.219 10∴ 人均住房面积为
61.0210≈4.92
4.评价：答案4.92符合城市实际情况，验算正确，所以到2000年底该市人均住房面积为4.92m2.
说明：一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答.此种题型属于应用问题中的数列模型.
例4．如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中
,在距离O地5a（a为正数）公里北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中 33sinβ= ,现有110指挥部紧急征调离O地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医学
5tg??1专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时. （1）求S关于p的函数关系； （2）当p为何值时，抢救最及时.
解：（1）以O为原点，正北方向为y轴建立直角坐标系， 则lOA:y?3x
设N（x0，y0），?x0?5ansi??3a
y0?5acos??4a?N(3a,4a)
4a3a?p(x?p)
又B（p，0），∴直线BC的方程为：y??y?3x4a?y?(x?p)?3a?p?
由?得C的纵坐标
yc?12ap3p?5a(p?53216ap5，∴a)S??|OB|?|yc|?,(p?a)
23p?5a3（2）由（1）得
S?6ap23p?5a?2app?253,令t?p?a532 ∴S?2a[t?25a?10a]?40a2，∴当且
a(t?0)9t33 7
仅当t?25a9t2,即t?5a3,此时p?10a3时，上式取等号，∴当p?10a公里时，抢救最及时.
3
例5．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f(t)越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：
??t2?24t?100(0?t?10)?f(t)??240(10?t?20)
??7t?380(20?t?40)? （1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
解：（1）当0?t?10时，f(t)??t2?24t?100??(t?12)2?244是增函数，且
f(10)?240；当20?t?40时，f(t)?7t?380是减函数，且f(20)?240.所以，讲
课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.
（2）f(5)?195,f(25)?205，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.
2当0?t?10时，f(t)??t?24t?100?180,则t?4；当20?t?40，
（3）令f(t)??7t?38?18,则t?28.57，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4=24.57＞24，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.
例6．（1997年全国高考题）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米／时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.
① 把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出函数的定义域；
② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.
解：（读题）由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，
8
2??（建模）有y＝(a＋bv2)
Sv
（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数关系式是： y＝S(
av＋bv)，其中函数的定义域是v∈(0，c] .
a整理函数有y＝S(由函数y＝x＋
ababkxav＋bv)＝S(v＋
b)， v (k>0)的单调性而得：
ab当 当≥c时，则v＝c时，y取最小值. 综上所述，为使全程成本y最小，当 ab ab；当 ab≥c时， 行驶速度应为v＝c. 说明：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解（证）不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型. 2.二次函数、指数函数以及函数y?ax?3.要能熟练地处理分段函数问题. 例7．某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程.经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时.但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车.问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由. 解: 引入字母， 构建等差数列和不等式模型. 由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为 bx（a＞0，b＞0）的性质要熟练掌握. 1480， 9 设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a1，a2，?， a25小时，依题意它们组成公差d??13（小时）的等差数列，且 a1480?a248015a1?24,则有???a25480?1,即12(a1?a25)?25?480，化简可得2a1?8?1925. 解得a1?2315,由于23?24. 可见a1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成. 说明：对照此题与2002年全国高考文科数学解答题中的应用题， 一定会感觉二者的解法是大同小异的. 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具， 这要求不断的联想， 力求寻找恰当的解题方案. 例8．在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.，问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？ 解: 不妨画一个图形，将文字语言翻译为图形语言， 进而想法建立数学模型. 设船速为v，显然v?4km/h时人是不可能追上小船，当0?v?2km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑2?v?4的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.设船速为v，人追上船所用 时间为t，人在岸上跑的时间为kt(0?k?1)，则人在水中游的时间 为(1?k)t，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形. ?|OA|?4kt,|AB|?2(1?k)t,|OB|vt,由余弦是理得 |AB|?|OA|?|OB|?2|OA|?|OB|?cos15? 222B vt 2(1－k)t O 即4(1?k)2t2?(4kt)2?(vt)2?2.4kt?vt?6?2 415° 4kt A 整理得12k2?[2(6?2)v?8]k?v?4?0. 2要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有0???[2(6?2)v?8]?4?12?(v?4)?022v?4122?1且 解得2?v?22,即vmax?22km/h. 10 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库第9讲应用问题的题型与方法（4课时）(2)在线全文阅读。
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