第1章 波导的模式(5)

10a?4yy= b/2by=-b/28643200??10x?52?246810x=-a/2 x= a/2

(38题图) 矩形波导横截面的结构简图

39. 试阐述矩形波导的马卡梯里近似分析方法。

矩形波导结构是一个十分复杂的边界问题，严格地说来，这个边界问题如果用电磁场理论进行严格求解的话，九个区的电磁场分布和边界条件都必须考虑。显然，这个严格方法将使问题变得非常复杂。为了简化分析，并能得出简单实用且精度高的公式，我们需要对矩形波导的结构作一定的近似。这一近似最早是由马卡梯里（Marcatili）提出的，总的来说就是大部分光功率集中在波导芯中传输，在芯区之外的包层中传输的很少，在四个带阴影的角区中传输的就更少。根据这个假定，可以对矩形波导的结构作如下简化：

因为在四个带阴影的角区中光的传输功率极小，亦即电磁场极弱，可以略去它们的影响。这样，只须考虑剩下的五个区即芯区及其周围的四个包层区分界面的边界条件即可。

这种对矩形波导的近似称为马卡梯里近似。马卡梯里近似相当于把矩形波导转化为在x, y方向上的两个平板波导，利用分离变量法把矩形波导所满足的标量亥姆霍兹方程分解为x, y方向上的两个平板波导所满足的标量亥姆霍兹方程，在一定的边界条件下求其解，则可得到x, y方向上的场分布函数及特征方程。

yx40. 简述矩形波导中的两种基本模式Emn模和Emn模。

矩形波导中的电磁场的主要分量集中在波导的横截面上，其波形接近于横电磁模(TEM模)。矩形波导中不再存在TE和TM模，而存在下述两种基本模式。一种是电磁场的主要分量为Ey和Hx，并且Hy很小，可认为Hy = 0，这时电场主要沿y方向偏振，

21

y这种模式称为Emn模。另一种是电磁场的主要分量为Hy和Ex，并且Ey很小，可认为Ey = x0，这时电场主要沿x方向偏振，这种模式称为Emn模。这里的下角标m、n分别表示x、

y方向的模式阶数。

41. 给出矩形波导的标量亥姆霍兹方程的表达式，并阐述其在分析矩形波导模式特性方面的重要性。

矩形波导的标量亥姆霍兹方程的形式为

d2?x?x?2?kx?x?x??0 2dxd2?y?y?dy22?ky?y?y??0

z方向的传播常数满足的公式为

2222 kz?k0?1?kx?ky此时z方向传播常数kz简称为传播常数。

分析矩形波导模式特性都是从亥姆霍兹方程出发，在一定边界条件下求其解，分别得到波导在x方向和y方向上的特征方程和场分布函数，进一步数值求解特征方程则可得到波导在x方向和y方向上的传播常数kx和ky，进而得到矩形波导的模传播常数kz。

y42. 矩形波导Emn模的电磁场分量的表达式为

Hy0?0 Hz0??j?Hx0

kz?x1?2Hx0 Ex0????0?kz?x?yEy0??Ez0?22k0??ky??0?kzjHx0

?Hx0

??0??y试阐述它们之间的相互关系。

22

y由上面公式可知，Emn模电磁场的6个分量中只有Hy0等于零，另外5个分量都不

为零。还可看出，只要知道Hx0(x, y)的表达式，其他四个不为零的场分量Hz0(x, y)、Ex0(x,

yy)、Ey0(x, y)和Ez0(x, y)的表达式都可以用Hx0(x, y)表示出来。因此对于Emn模我们只要

求出Hx0(x, y)的表达式，则其他四个不为零的场分量的表达式亦可求出。

y43. 给出矩形波导Emn模的边界条件。

在波导介质层的分界面处，电场和磁场的切线分量连续，而电位移和磁感应强度的法线分量连续。对于界面x??a，x方向为法线方向，Bx0??0Hx0连续，即有Hx0连续；

2z方向为切线方向，Hz0连续，由分量关系式Hz0??j?Hx0?H可知，Hz0连续相当于x0kz?x?x连续。对于界面y??b，x和z方向都是切线方向，Hx0连续，Ez0连续，由分量关系式

2Ez0??Hx0y可知，Ez0连续相当于1?Hx0连续。因此，Emn模的边界条件可总结为

??0??y??yj(1) 在界面x??a处， 2??i??a???j??a??i??a??j??a?Hx??H?Hx0????Hx0??? ????0x022?x?????2??x?2?(2) 在界面y??b处， 21??i??b?1??j??b??i??b??j??b?Hx??H? Hx0????Hx0??? ????0x022??y2??y???????2?ij若令Hx0?x,y???x?x??y?y?，则上述边界条件又可写为

(1) 在界面x??a处， 2?a??2??i??j??x?????x???

?a??2?d?i??a?d?j??a??x?????x??? dx?2?dx?2?(2) 在界面y??b处， 223

1d?i??b?1d?j??b??i??b??j??b??y?????y??? ?y?????y???

22?????idy?2??jdy?2?式中角标i、j表示界面两边介质区的编号。

x44. 矩形波导Emn模的电磁场分量的表达式为

Ey0?0 Ez0??Hx0j?Ex0

kz?x1?2Ex0 ???0kz?x?y22k0??kyHy0???0kzEx0

Hz0??j?Ex0

??0?y试阐述它们之间的相互关系。

x由上面公式可知，Emn模电磁场的6个分量中只有Ey0等于零，另外5个分量都不

为零。还可看出，只要知道Ex0(x, y)的表达式，其他四个不为零的场分量Ez0(x, y)、Hx0(x,

xy)、Hy0(x, y)和Hz0(x, y)的表达式都可以用Ex0(x, y)表示出来。因此对于Emn模我们只要

求出Ex0(x, y)的表达式，则其他四个不为零的场分量的表达式亦可求出。

x45. 给出矩形波导Emn模的边界条件。

在波导介质层的分界面处，电场和磁场的切线分量连续，而电位移和磁感应强度的法线分量连续。对于界面x??a，x方向为法线方向，Dx0??0?Ex0连续，即有?Ex0连2续；z方向为切线方向，Ez0连续，由分量关系式Ez0??j?Ex0?E可知，Ez0连续相当于x0kz?x?xb连续。对于界面y??，x和z方向都是切线方向，Ex0连续，Hz0连续，由分量关系式

2Hz0??j?Ex0x可知，Hz0连续相当于?Ex0连续。因此，Emn模的边界条件可总结为

??0?y?y24

(1) 在界面x??a处， 2?a??2???i??a???j??a?Ex0????Ex0??? ?x?2??x?2??i??j??iEx???jEx0??? 0???a??2?(2) 在界面y??b处， 2??i??b???j??b??i??b??j??b?Ex??E?Ex0????Ex0??? ????0x0?y?2??2??2??y?2?若令Ex0?x,y???x?x??y?y?，则上述边界条件又可写为

(1) 在界面x??a处， 2?a??2??i??j??i?x?????j?x???

?a??2?d?i??a?d?j??a??x?????x??? dx?2?dx?2?(2) 在界面y??b处， 2?b??2??i??j??y?????y???

?b??2?d?i??b?d?j??b??y?????y??? dy?2?dy?2?式中角标i、j表示界面两边介质区的编号。

46. 令矩形波导x方向的相对介电常数分布为

???3????x????1????5?a?????x????2??a? ?a???x??2??2?a???x????2?式中2a为波导芯宽度，?1??3??5。试由x方向的亥姆霍兹方程

d2?x?x?2?kx?x?x??0 2dxy求出Emn导模的磁场Hx0?x,y???x?x??y?y?在x方向上的分布函数?x?x?和特征方程。

(1) 场分布函数

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