第1章 波导的模式(2)

15. 给出平板波导TE模的边界条件。

在波导介质层的分界面处，电场和磁场的切线分量都是连续的。y方向和z方向都是介质分界面的切线方向，因此Ey0(x)、Hz0(x) 在介质分界面处都是连续的。由分量关系式Hz0?x??jdEy0?x?可知，H(x)连续相当于dEy0?x?连续。令第i层介质与第j

z0

dx??0dx层介质在x = a处存在一个介质分界面，则TE模在x = a处的边界条件可写为

Ey0?a??Ey0?a?

?i??j??i?dEy0?a?dx??j?dEy0?a?dx

16. 平板波导TM模的电磁场分量的表达式为

Hx0?x??0 Hz0?z??0

Ex0?x???H?x? ??0?y0Ey0?x??0

Ez0?x???jdHy0?x?dx??0?

试阐述它们之间的相互关系。

由上面公式可知，TM模电磁场的6个分量中有3个分量为零，另外3个分量不为零，即Hx0(x) = 0，Hz0(x) = 0，Ey0(x) = 0，Hy0(x) ? 0，Ex0(x) ? 0，Ez0(x) ? 0。还可看出，只要知道Hy0(x)的表达式，Ex0(x)、Ez0(x)的表达式都可以用Hy0(x)表示出来。因此对于TM模我们只要求出Hy0(x)的表达式，则Ex0(x)、Ez0(x)的表达式亦可求出。

17. 给出平板波导TM模的边界条件。

在波导介质层的分界面处，电场和磁场的切线分量都是连续的。y方向和z方向都是介质分界面的切线方向，因此Hy0(x)和Ez0(x)在介质分界面处都是连续的。由分量关系式Ez0?x???jdHy0?x?dx??0?可知，Ez0(x)连续相当于1?dHy0?x?dx连续。令第i层介质与第

j层介质在x = a处存在一个介质分界面，则TM模在x = a处的边界条件可写为

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?i??j?dHydHy110?a?0?a? Hy0?a??Hy0?a? ??idx?jdx?i??j?

18. 试由平均能流密度公式S?1ReE?H?和平板波导TE模电磁场的分量关系 2??Ex0?x??0 Ez0?x??0

Hx0?x????Ey0?x? ??0Hy0?x??0

Hz0?x??jdEy0?x? ??0dx2导出TE模在y方向单位波导宽度上的传输功率P的表达式

? P??Sz?x?dx???2??0????Ey0?x??dx

19. 试由平均能流密度公式S?1ReE?H?和平板波导TM模电磁场的分量关 2??Hx0?x??0 Hz?z??0

Ex0?x???H?x? ??0?y0Ey0?x??0

Ez0?x???jdHy0?x?dx??0?

导出TM模在y方向单位波导宽度上的传输功率P的表达式

? P??Sz?x?dx???2??0??????1Hy0?x?dx

2

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20. 令三层平板波导的相对介电常数分布为

??2?????1???3????x?0??0?x?b? ?b?x???式中b为波导层厚度，?1??2??3。试由亥姆霍兹方程

d2Ey0?x?dx222???k0??x?????Ey0?x??0

求出其TE导模电场Ey0?x?的场分布函数和特征方程。

(1) 场分布函数

?Aexp??2x?????1x?? Ey0?x???A?co?s?1x??T2sin?A?co???1b??exp???3?x?b??s?1b??T2sin??(2) 特征方程

????x?0??0?x?b? ?b?x???TnTn ?1b?m??arcta,2,? 2?arcta3 m?0,1式中

2222 ??2?k02?3?12?k0?1??2 ?2??2?k0?2 ?3??T2?

??2 T3?3 ?1?121. 令三层平板波导的相对介电常数分布为

??2?????1???3????x?0??0?x?b? ?b?x???式中b为波导层厚度，?1??2??3。试由亥姆霍兹方程

d2Hy0?x?dx222???k?x?????0?Hy0?x??0

求出其TM导模磁场Hy0?x?的场分布函数和特征方程。

(1) 场分布函数

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?Aexp??2x?????1x?? Hy0?x???A?co?s?1x??T2sin?A?co???1b??exp???3?x?b??s?1b??T2sin??(2) 特征方程为

????x?0??0?x?b? ?b?x???TnTn ?1b?m??arcta2?arcta3 m?0,1,2,?

式中

2222 ??2?k02?3?12?k0?1??2 ?2??2?k0?2 ?3??T2?

?1?2?? T3?13 ?2?1?3?122. 什么是三层平板波导导模的功率限制因子?

导模的功率限制因子? 定义为波导芯中的传输功率P1与波导中的传输总功率P之比。功率限制因子?是一个衡量波导对光场限制程度的参量，功率限制因子越大，进入包层中的倏逝场就越小，光场就越集中在波导芯中，芯中的传输功率就越大，因而波导对光场的限制就越好。

23. 解释三层平板波导的穿透深度和有效波导芯厚度的物理意义。

在以前的讨论中，当光在波导界面上发生全反射时，认为光就在入射点上发生反射，入射和反射在同一点上发生，也就是说认为入射点和反射点是同一个点。这时光在波导?nchen二人曾于1947年在试验中a中的轨迹是一个锯齿波，但实际上却不然。Goos和H?发现，光的反射并不发生在入射点上，光的反射点和入射点并不是同一点，反射点离入射点有一段距离或位移，如图1-5所示。这是因为任何相移都要与一定的光程或位移相联系，光在界面上产生的全反射相移也不例外。这样看来，光在波导上下界面处发生全反射时，入射光似乎并不是在实际界面上发生反射，而好像是深入到折射率较低的包层中的某一点A或B，然后再反射回来。点A和B到其相邻的波导界面的垂直距离x3和x2称为穿透深度。波导芯的真实厚度b与场在上下包层中的穿透深度x3、x2之和称为有效波导芯厚度。正因为场可以穿过芯与包层的分界面而进入包层，其结果相当于增大了波导芯的真实厚度，这就是有效波导芯厚度的物理意义。

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10A?1n386x3z3bbeffz2z2?1102z3n142n2002468x B

(23题图) 穿透深度和有效波导芯厚度

24. 试阐述导模和辐射模的传播常数谱的特点。

导模的特征方程是传播常数?的超越方程，由它不可能得到?的解析解，只能得到?的数值解。又因为这一方程中含有整数m，取值不连续，因而?的取值也不连续，取分立值，即导模的传播常数组成分立谱。辐射模的特征方程中含有连续变化的参量，因而辐射模的传播常数取连续值，即辐射模的传播常数组成连续谱。

25. 对称型三层平板波导中导模的有效折射率随波导芯厚度的变化曲线如图所示，试阐述其变化规律。

1.4951.4901.485m=012341.4701.4655036b /?m91215N1.4801.475

(25题图) 对称型三层平板波导中TE(实线)和TM(虚线)导模的有效折射率N随波导芯厚度b的变化曲线

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